I. 서 론
II. 경질 폴리머 압전복합재료의 등가물성 추출 및 정확도 분석
III. 연질 폴리머 압전복합재료의 등가물성 추출 및 정확도 분석
IV. 스테이브 규모에서의 압전복합재료 등가물성 검증
V. 결 론
I. 서 론
압전재료는 전기 신호를 음향 신호로 변환하거나 반대로 음향 신호를 전기 신호로 변환하는 센서 구동 재료로서 주로 수중 소나, 의료용 초음파 및 비파괴 검사 등에 사용된다.[1,2] 그 중에서도 1-3형 압전세라믹-폴리머 복합재료(이하 압전복합재료)는 압전세라믹 기둥이 폴리머 기질 내에 배열되고 상하면에 전극이 입혀진 구조이다. 압전세라믹 재료 자체는 기본적으로 두께 방향과 측면 방향의 압전상수가 서로 반대의 부호를 가지므로 저주파의 음압이 안가될 때 서로 상쇄되어 수신감도가 떨어지는 단점이 있다. 반면 압전복합재료는 두께 방향 압력은 세라믹 기둥의 두께 방향 압전 특성으로 최대한 수신하되, 측면 방향 압력은 세라믹 대비 연한 폴리머 재료의 탄성 특성으로 저감시킨다. 압전복합재료는 세라믹에 비해 두께 대비 감도가 높으며, 음향 임피던스는 낮아 변환 효율이 좋은 음향센서 소재이다.
압전복합재료는 비등방성이자 비균질 재료이기 때문에 이를 단일상의 균질한 압전재료 모델로 대치하기 위한 등가물성 추출 연구들이 수행되어 왔다. 초기에는 주로 이론적인 방법들이 사용되었다. Newnham et al.[3]은 압전복합재료의 구성 요소들 간 구조적, 물리적 연결성에 따른 주요 등가물성을 산출하였다. Smith와 Auld[4]는 1-3형 압전복합재료의 횡방향 스케일이 파장 대비 매우 커서 두께 거동이 지배적인 경우, Smith[5]는 재료의 스케일이 작아 정수압 거동이 지배적인 경우에 대하여 등가물성을 추출하였다. Avellaneda와 Swart[6]는 정수압 거동에 대해 복합재료 내부 미세 구조의 특성을 반영할 수 있는 계수를 추가 적용한 유효 매질 모델을 제시하였다. 이러한 이론적인 등가 모델링 기법들은 적절한 가정이 필요하며 그에 따라 주요한 일부 물성들만 추출이 가능하다. 또한 세라믹 부피비가 낮거나 폴리머의 포아송 비가 낮은 경우에는 오차가 발생할 수 있으며,[7] 추가적인 구조물의 영향 등을 반영하기 어렵다. 다른 물성 추출 기법으로 압전복합재료의 공진 모드별 특성을 실험 혹은 유한요소 해석으로 구한 후 해당 공진 모드에 기여하는 주요 물성들을 도출하는 공진법을 적용한 사례들이 있다.[8,9,10] 공진법은 해당 모드 주파수 부근에서 정확도가 높지만 그 외의 대역에서는 정확도가 낮을 수 있으므로, 공진을 피해 저주파에서 운용되어 정수압 거동을 보이는 소형 압전복합재료에 적용하기는 적합하지 않을 수 있다.
유한요소 해석을 이용한 직접 추출 기법은 압전재료 구성방정식(piezoelectric constitutive equations)을 기반으로 등가물성 행렬의 개별 성분들을 직접적으로 계산하는 방법이다. 직접 추출 기법은 형상이 바뀔 때마다 해석을 새로 수행해야 한다는 단점이 있으나, 물성 행렬의 전체 성분을 완성할 수 있어 재료 단위 이상의 스케일에 대한 등가 모델링 및 성능 예측에 용이하다. 또한 수학적으로는 별도의 변형 없이 구성방정식 자체를 따라 진행되기 때문에 비교적 직관적이며, 추가적인 가정이 요구되지 않으므로 다양하고 복잡한 형상에 대해 강건하게 적용이 가능하다. 기존에 유한요소 해석을 이용해 등가물성을 직접 추출한 사례들이 있으나,[7,11,12,13] 정수압 압전상수 등의 일부 물성만을 계산하였다. 이는 대부분 기존의 이론적인 물성추출 기법을 검증하거나[7] 설계 모델 혹은 시험결과의 신뢰성을 확보하는 목적으로 사용되었지만,[11,13] 인가 조건이나 폴리머 특성에 따른 기법 자체의 정확도에 대한 분석적인 논의는 아직까지 이루어지지 않은 것으로 보인다. 이에 본 논문에서는 유한요소해석을 이용한 등가물성 직접 추출 기법의 정확도를 중점적으로 분석해보고자 한다. 직접 추출 기법의 기반이 되는 구성방정식의 조합에 따라 두 가지 방식으로 압전복합재료의 등가물성을 추출한 후, 단일 하이드로폰 소자의 자유음장 수신감도 측면에서 정확도를 비교한다. 또한 압전복합재료 기질의 폴리머 재료 특성에 따라 추출된 물성과 정확도가 어떻게 달라지는지 확인하고 원인을 분석한다. 마지막으로, 추출된 물성을 이용해 음향구조물을 포함하는 스테이브 규모에서 등가 모델링의 정확도와 연산량을 검증해보고자 한다.
II. 경질 폴리머 압전복합재료의 등가물성 추출 및 정확도 분석
압전복합재료를 대치하고자 하는 단일상 압전재료의 구성방정식은 기계적 변수인 응력 T와 변형률 S, 전기적 변수인 전기장 E와 전기변위 D사이의 관계식이다. 이는 독립변수와 종속변수 조합에 따라 네 가지 방식으로 표현할 수 있는데,[14] 본 논문에서는 유한요소 해석에서 주로 사용되는 두 가지 형식에 대해서만 다루고자 한다. 첫 번째 형식은 응력 T와 전기장 E를 우변의 독립변수로, 변형률 S와 전기변위 D를 좌변의 종속변수로 표현하는 방법으로서 Eq. (1)과 같이 행렬식으로 나타낼 수 있는데, 이를 종속변수명을 기준으로 strain-charge form 혹은 S-D form이라 칭한다.
여기서 s는 기계적 컴플라이언스, d는 S-D form 압전상수, 는 유전상수이다. 대문자로 쓰인 위첨자는 해당 변수의 값이 일정하다는 것을, 소문자로 쓰인 위첨자 t는 전치행렬(transpose)을 의미한다. 두 번째 형식은 stress-charge form 혹은 T-D form이다. 변형률 S와 전기장 E는 독립변수로, 응력 T와 전기변위 D를 종속변수로 하여
와 같이 기술되며, c와 e는 각각 탄성계수와 T-D form 압전상수이다. Eq. (1)과 마찬가지로 위첨자 t는 전치행렬을, 위첨자 E와 S는 각각 전기장과 변형률이 일정함을 의미한다. 압전재료는 방향별 특성이 다르기 때문에 각 변수들은 행렬의 형태로 표현되므로 Eqs. (1)과 (2)에서 이를 볼드체로 표기하였다.
등가물성 직접 추출 기법은 이러한 압전재료 구성방정식을 기반으로 수행된다. 먼저 S-D form을 이용한 물성 추출은 Eq. (1)의 독립변수인 T 또는 E에 단위벡터 형태의 행렬을 입력했을 때 출력되는 종속변수 S와 D로부터 물성 행렬 의 각 성분들을 구하는 방식이다. 행렬 T와 E를 구성하는 총 9개의 성분 중에서 한 가지만 1이고 나머지는 모두 0이 되는 조건에서 압전복합재료의 유한요소 해석을 수행한 뒤, S와 D의 각 성분들을 구하면 물성을 추출할 수 있다. 예를 들어 행렬의 (1,1) 성분인 의 값은, 1방향 축하중을 제외한 나머지 5개 응력과 3개 전기장 값이 모두 0이며 1방향 단위 응력()만이 작용하는 조건에서 계산된 1방향 변형률 과 같다. 마찬가지로 T-D form 기반의 물성 추출 방식에서는 독립변수인 S 또는 E 내에 하나의 성분만이 1이 되는 조건에서 해석을 통해 T와 D의 값을 산출한다. 이러한 과정을 각 성분별로 반복함으로써 물성 행렬을 채워나갈 수 있다.
직접 추출 기법을 적용하여 등가물성을 추출하고자 하는 1-3형 압전복합재료 하이드로폰 소자의 형상은 Fig. 1과 같다. 하이드로폰은 공진을 피해 저주파 대역에서 구동되는 것을 상정하였다. 최대 운용주파수 에서의 파장을 이라 할 때, 소자의 가로와 세로 길이는 약 0.17, 높이는 약 0.07 정도로 작은 크기이며 약 3.1의 종횡비율을 갖는다. 내부의 원형 세라믹 기둥 직경은 약 0.02이며, 5×5 형태로 등간격 배치되었고 중심간 거리는 약 0.03이다. 세라믹의 재질은 PZT-5 계열이고, 주변의 기질부에는 에폭시 계열의 경질 폴리머(II장) 또는 우레탄 계열의 연질 폴리머(III장)를 적용하였으며 폴리머의 부피비는 약 70 %가 되도록 형상을 선정하였다. 두께 방향 효과를 극대화하기 위해 상하에 고강성의 평판이 부착되었으며 그 두께는 최대 운용주파수에서의 파장 대비 약 0.007로 매우 얇다. 전극은 내부 복합재료 구조와 평판 사이에 위치한다고 가정하였으며 별도의 형상 모델링은 하지 않았다. 각 재료의 물성은 Table 1에 정리하였으며, 상하 평판이 압전복합재료 특성에 큰 영향을 미치기 때문에 평판을 포함하는 소자 전체 형상에 대하여 등가물성을 추출하였다.
Table 1.
Properties of materials used in a piezocomposite hydrophone.
| Hard polymer matrix | Soft polymer matrix | Plate | |
| Density (kg/m3) | 1600 | 760 | 1500 |
| Young’s Modulus (GPa) | 6 | 0.13 | 60 |
| Poisson’s ratio | 0.39 | 0.49 | 0.3 |
| Dielectric constant | 4 | 4 | - |
1-3형 압전복합재료의 구조를 고려하여 육방정의 구조를 갖는 C6V(혹은 6 mm) 결정계를 기준으로 등가물성을 도출하였다. 결정 구조의 대칭성을 반영한 S-D form 구성방정식을 행렬식으로 표현하면 아래 Eq. (3)과 같다.
여기서 로 계산이 가능한 성분을 제외하면 9×9의 등가물성 행렬은 총 10개의 독립적인 성분으로 완전히 정의될 수 있다.
상기된 Eq. (3)에서 독립변수 T와 E로 이루어진 우변의 벡터 행렬이 입력변수, 즉 유한요소 해석의 경계조건이 되며, 종속변수 S와 D로 구성된 좌변의 벡터 행렬이 출력변수, 즉 해석으로 계산되는 결과 값이 된다. 세부적인 과정은 다음과 같다.
① 이 1, 나머지 8개 성분은 0 인 조건에서 유한요소 해석을 수행한다. 이것을 Eq. (3)의 관점에서 입력변수 행렬에 대입해보면 우변은 물성 행렬의 첫째 열 성분들만 남게 되며, 그 값은 좌변 행렬 성분들의 값과 같아짐을 알 수 있다.
② ①의 해석 결과로부터 의 값을 산출하면 각각 값이 된다. 이 때, 각각에 대해 유한요소해석을 따로 수행할 필요는 없다.
③ 이 1이고 나머지 성분은 0인 조건에서 유한요소 해석을 수행한다. Eq. (3)의 관점에서는 우변 물성 행렬의 세 번째 열 성분만 남게 되는 것이다.
④ ③의 결과로부터 의 값을 산출하면 각각 값이 된다.
⑤ 위 절차를 입력조건이 인 경우 각각에 대해 반복하면서, Eq. (3)의 물성 행렬 성분들과 대응되는 출력변수들을 산출한다.
이러한 과정으로 10개의 성분 모두를 추출하기 위해 필요한 유한요소 해석의 경우의 수는 5가지이다. 각각의 해석 케이스별로 인가되는 입력변수와 출력되는 변수들에 따라 추출되는 물성들을 Table 2에 정리하였다. 2방향 변수들은 1방향과 동일하므로 해석 케이스에서 제외하였고, 와 같이 여러 케이스에서 중복 추출되는 성분들은 모두 평균값을 적용하였다. T-D form 기반의 물성추출 또한 이와 유사한 과정으로 진행되었으며, 본 논문의 모든 유한요소 해석은 상용 소프트웨어인 COMSOL Multiphysics를 통해 수행되었다.
Table 2.
Estimated components of equivalent properties depending on input and output variables.
| Case |
Input variable | Output variables | |||||
| #1 | - | - | |||||
| #2 | - | - | |||||
| #3 | - | - | - | - | |||
| #4 | - | - | - | - | |||
| #5 | - | - | - | ||||
먼저 경질 폴리머가 적용된 압전복합재료에 대한 S-D form 기반 등가물성 추출의 한 예시로서, Table 2의 1번 케이스에 해당하는 입력조건 및 대표적인 해석 결과를 Fig. 2에 나타냈다. 입력조건이므로 Fig. 2(a)와 같이 보라색으로 표현된 1방향의 양면에 1 Pa의 인장응력 경계조건을 설정하였다. 을 제외한 나머지 응력은 모두 0이 되어야 하므로, 2방향과 3방향의 나머지 4개면에는 자유 경계조건을 주었다. 전기적으로는 가 모두 0이 되어야 하므로 모든 외부 면에 접지 조건을 주었다. 이러한 조건에서 유한요소 해석을 수행하였을 때 변위 벡터의 크기, 총 변위 값은 Fig. 2(b)와 같으며, 변형된 형태를 함께 도시하였다. 1방향으로 인장이 발생하였고 특히 폴리머 가장자리에서 다른 방향으로 구속이 없기 때문에 변형이 크게 나타났다. Fig. 2(c)와 (d)에서는 1방향과 3방향 표면에서 변형률 값의 분포를 변형된 형태와 함께 도시하였다. 여기서 변형률은 각 표면에서 해당 방향으로의 변위를 초기 길이로 나눠줌으로써 계산되었다. 포아송 효과로 인해 1방향의 인장이 2방향과 3방향의 압축 변형을 유발하였으며, 상대적으로 평판은 영률이 높고 폴리머는 낮기 때문에 Fig. 2(c)에서 폴리머 부분의 2방향 압축 변형이 크게 나타났다. 등가물성 와 은 일종의 대푯값이므로 각각 1방향과 3방향 표면의 변형률 분포에 대한 면평균 값으로 산출하였다. Fig. 2에서 표현된 것 이외에 다른 성분들에 대해서도 모두 면평균 값을 통해 등가물성이 산출되었다. 와 같이 출력변수가 변형률 S인 경우에는 해당 표면에서의 변위를 초기 길이로 나눈 변형률 표면 분포를 구한 뒤 그 평균값을 계산하였고, d나 와 같이 출력변수가 전기변위 D인 경우에는 표면 전하밀도를 적분하여 면적으로 나눠준 값으로 등가물성을 산출하였다.
동일한 하이드로폰에 대하여, T-D form 기반 등가물성 추출 중에서 이 입력조건일 때의 해석 결과를 Fig. 3에 나타냈다. Fig. 3(a)와 같이 1방향의 양면에 단위 변형률을 인가하였고, 나머지 표면에서는 1방향으로 구속 없이 움직이되 표면에 수직한 방향의 변위는 0이 되는 롤러 경계조건을 설정함으로써 변형률이 0이 되도록 하였다. 총 변위와 변형된 형태는 Fig. 3(b)와 같이 계산되었으며, 1방향과 3방향 표면에서의 1방향 응력 의 분포는 각각 Fig. 3(c), (d)와 같이 나타났다. T-D form 기반의 등가물성 추출 또한 S-D form의 경우와 마찬가지로 각 입력조건에 따라 총 5가지 경우에 대하여 해석이 수행되었으며, 나 와 같이 응력을 출력함으로써 얻어지는 등가물성 성분들은 해당 표면에서의 응력 면평균 값으로 산출되었고, 중복되는 성분일 경우 두 값의 평균으로 계산하였다.
S-D form와 T-D form 두 가지 추출 방식의 정확도는 단일 하이드로폰 소자의 자유음장 수신감도를 통해 확인하였다. Fig. 1의 하이드로폰 형상과 동일한 외곽 치수를 갖는 단일상 압전재료에 각 방법으로 추출한 등가물성을 입력하여 해석된 수신감도를 전체 영역에 대한 유한요소 모델(full Finite Element Model, full FEM)의 결과와 함께 Fig. 4에 비교하였다. Fig. 4(a)와 (b)는 각각 full FEM과 등가모델에 대해 자유음장 수신감도를 계산하기 위한 해석 모델이다. Fig. 4(a)의 Full FEM은 Fig. 1의 압전복합재료 하이드로폰 형상을 그대로 반영하였으며, Fig. 4(b)의 등가모델은 동일한 외곽 치수를 가지며 앞서 추출된 등가물성을 갖는 단일상의 압전체 형상을 반영하였다. 1Pa의 평면파가 입사할 때 전압을 추출하여 자유음장 수신감도를 계산하였으며, 등가물성은 S-D form과 T-D form 각각을 이용해 추출된 두 가지 종류의 물성을 적용하였다. 각 모델별로 계산된 수신감도 결과를 Fig. 4(c)에 비교하였다. 가로축 주파수는 최대 운용주파수 를 기준으로 정규화를 하였고, 세로축 수신감도는 full FEM에서 계산한 최저 주파수에서의 값을 기준으로 하여 상대적인 값으로 나타내었다. 검정색 점선은 등가 모델링 없이 전체 영역을 그대로 해석했기 때문에 정확도 판단의 기준으로 삼았고, S-D form 기반 추출 물성을 적용한 수신감도 결과는 빨간색 실선으로, T-D form 기반 추출 물성을 적용한 수신감도 결과는 파란색 실선으로 나타내었다. 두 가지 등가물성 추출 방식 모두 최대주파수의 3배 범위까지 full FEM 결과와 잘 일치하고 있으며, 오차는 2 dB 이내로 나타났다. 1차 공진 모드는 모두 2 부근에서 발생했으며, 해당 모드 형상 또한 Fig. 4의 오른쪽 그림과 같이 가장자리부 굽힘의 형태로 동일하게 모사되고 있다. 이로부터 경질 폴리머 재료를 적용한 압전복합재료 하이드로폰에 대해서는 S-D form, T-D form 두 가지 방법 모두가 등가물성을 비교적 정확하게 추출한 것으로 판단할 수 있다.
III. 연질 폴리머 압전복합재료의 등가물성 추출 및 정확도 분석
압전복합재료 기질에 적용된 폴리머의 종류에 따라 하이드로폰의 수신 특성은 달라질 수 있다. 우레탄 계열의 연질 폴리머는 II장의 에폭시 계열 경질 폴리머에 비해 탄성계수가 낮고 프아송 비는 높은 특징을 갖는다. II장과 동일한 형상의 하이드로폰 소자에 대하여 Table 1에 기술된 물성을 갖는 연질 폴리머를 적용하였을 때 등가물성을 계산하였고, 전반적인 추출 과정은 II장에 기술한 것과 동일하다. S-D form 기반의 추출 기법을 적용하였을 때, 입력조건에 대한 1방향과 3방향의 변형량 분포를 각각 Fig. 5(a), (b)에 나타내었다. 동일한 조건에서 경질 폴리머의 결과(Fig. 2)와 비교해보면, 평판 및 세라믹 대비 연질 폴리머의 낮은 탄성계수로 인해 의 분포가 외곽부에 집중되고, 높은 포아송 비로 인해 측면인 2방향으로의 변위가 비교적 크게 나타남을 확인할 수 있다.
다음으로 T-D form 기반 추출 방식에서 입력조건에 대한 추출 결과를 Fig. 6에 나타냈다. 1방향 표면에서의 1방향 응력 의 분포인 Fig. 6(a)를 보면, 연질 폴리머의 낮은 탄성계수로 인해 동일한 조건의 경질 폴리머 결과[Fig. 3(c)]에 비하여 상하 평판 대비 폴리머에 작용하는 응력의 크기가 훨씬 작게 나타난다. Fig. 6(b)의 3방향 응력 의 분포에서도 위치별로 편차가 경질 폴리머[Fig. 3(d)]에 비해 증가한 것을 알 수 있다.
각 기법의 정확도를 판단하기에 앞서 폴리머 종류에 따른 압전복합재료 등가물성과 특성을 비교하기 위해 S-D form과 T-D form 기반으로 추출된 최종 등가물성 행렬을 각각 Tables 3과 4에 폴리머 종류별로 비교하였다. 먼저 폴리머 재료의 기계적 특성 차이에 기인하여 등가물성이 상이하게 나타난 것을 확인할 수 있다. 전반적으로 연질 폴리머를 적용하였을 때 강성 성분들은 낮게, 압전상수 성분들의 절대값은 더 높게 도출되었다.
Table 3.
Equivalent material properties of a 1-3 piezocomposite estimated using the S-D form depending on polymer materials.
| (pm2/N), (pC/N), | |
|
Hard polymer |  |
|
Soft polymer |  |
우선 경질 폴리머보다 연질 폴리머에서 물성행렬 의 대각 성분()이 더욱 높게 나타났는데, 이는 측압이 없는 조건 하에서 각 축방향의 기계적 컴플라이언스이므로 폴리머의 탄성계수 특성이 그대로 반영된 것이라고 볼 수 있다. 이러한 양상은 3방향보다 측면방향(1, 2방향)에서 더욱 두드러지는데, 그 원인으로는 3방향에서는 폴리머 대비 훨씬 단단한 세라믹의 특성이 지배적으로 나타나는 반면에 측면방향에서는 폴리머의 영향성이 더욱 커지기 때문이라고 할 수 있다. 한편 비대각 성분들을 보면, 값 대비 값의 크기가 경질 폴리머보다 연질 폴리머에서 매우 크게 산출되었다. 이는 1방향 응력 작용 시 1방향 변형량 대비 2방향 변형량의 비율이므로 폴리머의 포아송 비 특성을 반영한다. 즉 연질 폴리머의 포아송 비가 높기 때문에 발생하는 현상이라고 볼 수 있다. 3방향 거동이 포함되는 비대각 성분 의 경우에는 이러한 차이가 감소하는데, 이는 대각 성분에서와 마찬가지로 단단한 세라믹의 특성이 3방향에서 더 지배적으로 나타나기 때문이다. 압전상수 측면에서는 경질 폴리머에 비해 연질의 탄성계수가 낮아 값이 높게 나타났으나, 포아송 비가 크기 때문에 의 절대값이 같이 높아짐을 확인할 수 있다.
연질 폴리머 적용 압전복합재료에 대한 등가물성 추출 정확도를 판단하기 위해 추출된 물성으로 계산한 자유음장 수신감도를 Fig. 7에 도시하였다. 수신감도는 Fig. 4(a), (b)와 동일한 유한요소 모델을 통해 계산되었다. 검정색 점선은 full FEM, 빨간색 실선은 S-D form, 파란색 실선은 T-D form 기반으로 추출된 수신감도를 의미하며, 주파수와 상대감도의 기준은 Fig. 4에서와 동일한 값을 사용하였다. 연질 폴리머는 경질폴리머와는 달리 S-D form 기반 등가물성으로 계산된 수신감도만이 full FEM 결과와 약 2 dB 오차 이내로 유사하며 그래프 우측에 도시된 것과 같이 1차 공진 모드의 주파수 및 모드 형상까지 비교적 잘 모사되고 있다. 반면 T-D form 기반 추출 물성은 전 주파수 대역에서 차이가 많이 발생하고 있으며 저주파 수신감도는 full FEM 결과 대비 약 7 dB 정도 높게 나타나며 1차 공진 모드도 더 높은 주파수에서 발생하였다. T-D form 기반 물성을 이용해 계산된 높은 수신감도의 직접적인 원인은 Table 4에서 보여지듯 대비 값의 크기가 매우 작아서 측압에 대한 역효과가 거의 발생하지 않았기 때문으로 추정된다. 1차 모드 발생 주파수도 일치하지 않았기 때문에 e 이외의 물성 성분들 또한 정확도를 보장할 수 없다.
Table 4.
Equivalent material properties of a 1-3 piezocomposite estimated using the T-D form depending on polymer materials.
| (GPa), (C/m2), | |
|
Hard polymer |  |
|
Soft polymer |  |
추출된 등가 물성들의 정확도는 복합재료 하이드로폰의 실제 구동 조건과의 유사성과 관련이 있는 것으로 추정할 수 있다. 하이드로폰 소자의 크기가 입사파 파장 대비 매우 작기 때문에 정수압 인가 조건과 유사한 거동을 보이며, 이는 1축, 2축, 3축 각 방향별 응력을 개별로 인가했을 때 발생하는 각각의 거동들의 선형 합과 같다. 따라서 변형률이 구속조건으로 인가되는 T-D form 기반 추출 물성을 적용하는 것보다는, 응력이 구속조건으로 인가되는 S-D form 기반 추출 물성을 적용하는 것이 자유음장 수신감도 측면에서 full FEM의 결과와 더 유사한 것으로 예상된다. 또한 그 차이는 폴리머의 기계적 특성에 의해 경질 폴리머보다는 연질 폴리머를 적용했을 때 극명하게 나타나고 있다.
또 다른 오차의 원인으로는 폴리머 재료와 주변의 상하 평판 및 세라믹 재료 간의 기계적 특성 차이에 의한 응력집중의 영향을 들 수 있다. T-D form 기반 추출에서는 변형률이 특정 값으로 고정되었을 때 발생하는 응력의 평균값을 계산한다. 동일한 변형률이 작용하면 탄성계수가 높은 상하 평판이 대부분의 응력을 가져가므로, 평판과 폴리머의 경계에서 변위 연속 조건을 만족하기 위하여 응력집중이 발생하여 평균 시 오차 원인이 된다. 이를 확인하기 위한 한 가지 예시로서, 물성 추출 시 평균값에 대한 상대편차의 분포를 폴리머 종류 및 추출 방식에 따라 Fig. 8에 비교하였다. S-D form과 T-D form에서 과 값을 추출하기 위해 3방향 전기장 만이 인가된 조건에서 계산된 와 각각의 평균값에 대한 상대편차 분포이다. S-D form 기반의 응력 인가 조건보다는 T-D form 기반의 변형률 인가 조건에서 편차 값이 크게 발생하며, 이는 평판과 폴리머 사이의 경계를 따라 발생하는 응력집중에 기인하는 것으로 보인다. 특히 연질 폴리머의 경우에는 평판과의 특성 차이가 더 크기 때문에, 이러한 응력집중 현상도 더욱 크게 발생하여 Fig. 8(d)에서와 같이 평균값 대비 거의 300배까지 이르는 것을 확인할 수 있다.
IV. 스테이브 규모에서의 압전복합재료 등가물성 검증
수중 음향센서 배열의 구조적 단위가 되는 스테이브는 전면 표적신호 최대화 및 후면 소음 최소화를 위하여 하이드로폰 후방에 높은 음향임피던스 재질의 음향 조절판과 낮은 음향임피던스 재질의 차음 배플이 존재한다.[15,16] 압전복합재료 하이드로폰이 적용된 스테이브 규모에서의 등가물성 검증을 위해 고려한 기본 형상은 Fig. 9와 같다. 하나의 스테이브는 총 6개 채널로 이루어져 있으며, 각 채널은 수신 감도와 정전용량을 고려하여 2개씩 직렬 연결된 하이드로폰 쌍 4개가 병렬 연결되어 총 8개의 소자로 구성된다. 하이드로폰에는 III장에서 다루었던 것과 동일하게 연질 폴리머를 적용하였고, 따라서 등가 모델링 시 물성은 더 정확했던 S-D form 기반으로 추출된 값을 사용하였다. 스테이브가 평면으로 무한히 배열되어 있다는 가정 하에 대칭 조건을 적용하여 1/4 영역에 대한 유한요소 해석을 수행하였고, 전방에서 연직 입사하는 평면파에 대한 채널별 수신감도를 계산하여 Fig. 10에 도시하였다. 점선은 full FEM, 실선은 등가 모델링의 결과이며, 빨간색과 검정색은 각각 1번과 2번 채널의 값을 의미한다. 하이드로폰 후방에 존재하는 다층 구조의 영향으로 저주파 감도는 떨어지고 고주파 감도는 올라가는 개형이 나타난다. 개별 하이드로폰 단위에서의 결과와 마찬가지로 등가 모델링과 full FEM의 수신감도 결과가 잘 일치하고 있으며 오차는 3 dB 이내로 나타났다. 등가 모델링의 수신감도 곡선이 full FEM에 비해 오프셋 형태로 약간 크게 나오는 것은 앞서 단일 하이드로폰 단위에서의 수신감도 차이가 반영된 것으로 보인다.
스테이브 규모에서의 해석 연산량도 등가 모델링을 통해 상당 부분 절감할 수 있음을 확인하였고 해당 결과를 Table 5에 정리하였다. 동일한 조건에서 등가 모델링 적용 유무에 따른 유한요소 해석의 자유도를 비교해보면 full FEM은 약 110만, 등가모델은 약 22만으로 5배 정도 감소하였다. 이에 따라 연산 시간은 대략 8 h ~ 1 h정도까지 8배 줄어들었고, 소요 메모리는 27 GB에서 7 GB 수준으로 약 4배 감소하였다.
V. 결 론
본 논문에서는 압전복합재료의 단일상 등가 모델링을 위하여 유한요소 해석을 이용한 등가물성 직접 추출 기법을 적용하였으며, 그 정확도에 대한 심도 있는 분석을 수행하였다. 먼저 직접 추출 기법의 근간이 되는 구성방정식의 조합 두 가지, S-D form과 T-D form를 토대로 각각 추출된 물성의 정확도를 비교, 분석하였고 이는 폴리머의 특성과 밀접한 관련이 있음을 확인하였다. 물성의 정확도 판단은 압전복합재료 형상 그대로에 대한 전체 유한요소 모델과 자유음장 수신감도를 비교함으로써 수행되었다. 경질 폴리머 적용 압전복합재료에 대해서는 두 가지 방식 모두 유사하였으나, 연질 폴리머의 경우 T-D form으로 추출된 물성이 S-D form으로 추출된 물성에 비해 정확도가 낮은 것으로 나타났다. 오차 분석 결과, 등가물성의 추출 정확도는 압전복합재료의 실제 구동 조건과 물성 추출 조건 간의 유사성과 관련이 있었다. 또한 재료별 기계적 특성 차이에 의한 응력집중 발생과도 밀접한 관련이 있는 것으로 판단되었다.
압전복합재료의 정확한 등가물성은 재료 자체의 특성을 규명하고 하이드로폰 단위의 설계를 위해서도 필요하지만, 주위의 음향구조물을 포함하는 스테이브 혹은 센서장비 전체 규모에 대한 정확한 성능 예측을 위해서도 상당히 중요하다. 또한 유한요소 해석 시 압전복합재료 특유의 소규모 구조에 의하여 격자 수가 증가하고 연산량이 방대해지는 문제가 발생하며, 특히 대형 배열 규모에서는 일반적인 연산장비로 해석이 불가능한 경우가 있다. 하이드로폰 단위에서 추출된 등가물성을 스테이브 규모에 대해서도 적용해봄으로써 그 정확도를 검증하였으며, 등가 모델링의 연산량 절감 효과도 확인할 수 있었다.
