Acoustic pressure field prediction based on the waveguide invariant using ocean physics informed neural networks

Soyeon Park; Yongsung Park; Gihoon Byun

doi:10.7776/ASK.2026.45.4.445

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The Journal of the Acoustical Society of Korea. 31 July 2026. 445-458
https://doi.org/10.7776/ASK.2026.45.4.445

Acoustic pressure field prediction based on the waveguide invariant using ocean physics informed neural networks

도파관 불변량을 이용한 해양 물리정보 신경망 기반 음압장 예측

Soyeon Park¹

Yongsung Park²

Gihoon Byun¹^*

박 소연¹

박 용성²

변 기훈¹^*

¹한국해양대학교 해양과학기술융합학과

²우즈홀 해양연구소

^{*Corresponding Author}

License (open-access, http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/):

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ABSTRACT

Physics Informed Neural Networks (PINNs) provide a framework for predicting ocean acoustic pressure fields using limited observational data. However, their performance often degrades in extrapolation regions beyond the observation range. In this study, a data augmentation strategy based on the Waveguide Invariant (WI) is incorporated into the PINN training process to improve extrapolation performance. Numerical simulations demonstrate that the proposed method enhances prediction accuracy in extrapolation regions compared to the conventional PINN. Additional analyses confirm its applicability to source range estimation. These results suggest that the proposed approach offers a practical improvement in predictive capability under limited observational conditions.

Keywords

Physics Informed Neural Network (PINN)

Waveguide Invariant (WI)

Acoustic pressure field prediction

Range estimation

물리정보 신경망(Physics Informed Neural Network, PINN)을 활용한 해양 음압장 예측 기법은 제한된 관측 데이터를 이용하여 해양 음압장을 추정할 수 있으나, 관측 범위를 넘어서는 외삽 구간에서는 예측 성능이 저하되는 한계를 가진다. 본 연구에서는 이러한 외삽 구간에서의 성능 저하 문제를 개선하기 위하여 도파관 불변량(Waveguide Invariant, WI) 기반의 데이터 증강 방법을 PINN 학습 과정에 도입하였다. 수치 시뮬레이션을 통해 제안된 방법이 외삽 구간에서 기존 PINN 대비 향상된 예측 정확도를 보임을 확인하였으며, 추가적으로 음원 거리 추정 문제에서의 적용 가능성을 검증하였다.

키워드

물리정보 신경망(Physics Informed Neural Network, PINN)

도파관 불변량(Waveguide Invariant, WI)

음압장 예측

거리 추정

MAIN

I. 서 론
II. 이 론
2.1 해양 물리정보 신경망
2.2 도파관 불변량 기반 해양 물리정보 신경망
III. 수치시뮬레이션 결과
3.1 음압장 예측 결과
3.2 정합장처리를 통한 정량적 검증
3.3 정합장처리 복제음장으로의 활용: 음원 거리 추정
IV. 결 론

I. 서 론

최근 수중음향학 분야에서는 머신러닝 기법을 활용한 연구가 활발히 이루어지고 있으며,^[1] 그 적용 범위는 해양 음압장 재구성,^[2,3] 전달손실 예측,^[4,5] 수중 음원 위치추정,^[6,7,8,9] 해양 환경 및 도파관 특성 추정^{[10,11,12,13]} 등으로 확대되고 있다. 그러나 이러한 데이터 기반 방법들은 일반적으로 충분한 학습 데이터를 필요로 하며, 제한된 데이터만으로 학습될 경우 미관측 영역에서 예측 성능이 저하될 수 있다. 특히 수중 음향 환경은 거리, 수심, 음속 구조, 해저면 특성 등 다양한 환경 파라미터의 영향을 동시에 받기 때문에, 이를 충분히 반영하는 학습 데이터를 확보하기 어렵다. 따라서 수중 음향 문제에서는 데이터 부족으로 인한 일반화 성능 저하가 더욱 두드러진다.

이러한 한계를 완화하기 위해, 관측 데이터와 지배 방정식 및 경계조건을 학습 과정에 함께 반영하는 해양 물리정보 신경망(Ocean Physics Informed Neural Network, OceanPINN)이 제안되었다.^[14] 제한된 측정 자료만으로도 물리적으로 일관된 해를 추정할 수 있다는 장점을 가지며, 이를 해양 음압장 예측 문제에 적용하여 부분적으로 관측된 거리 및 수심 영역의 음압 크기 정보로부터 전체 음압장을 재구성할 수 있다. 또한 해양 물리정보 신경망을 이용한 모드 파수 추정^[15] 및 정합장처리 기반 음원 거리 추정 연구^[16]도 수행된 바 있다.

그러나 해양 물리정보 신경망 기반 해양 음압장 예측 기법은 측정점이 존재하지 않는 외삽 구간에서 성능 저하를 보이는 한계를 가진다. 이는 학습 과정에 헬름홀츠 방정식으로부터 유도된 물리 정보가 포함되더라도, 제한된 관측 자료만으로는 학습 영역 외부에서 나타나는 복잡한 모드 간섭 구조와 위상 변화를 충분히 재현하기 어렵기 때문이다. 특히 외삽 영역에서는 데이터 적합 손실이 직접적으로 적용되지 않으므로, 신경망 예측이 물리적으로 가능한 해 중 실제 음압장과 일치하는 방향으로 충분히 제약되지 못할 수 있다. 따라서 외삽 구간에서의 예측 성능을 향상시키기 위해서는 제한된 관측 자료로부터 외삽 영역에 대한 물리적으로 일관된 정보를 확장할 수 있는 접근이 필요하다. 본 연구에서는 이를 위해 도파관 불변량(Waveguide Invariant, WI) 이론을 활용한다. 도파관 불변량은 거리 독립 해양 도파관에서 거리 변화와 주파수 변화 사이의 물리적 관계를 설명하며,^[17] 그린 함수 외삽의 관점에서는 관측 거리에서의 인접 주파수 성분을 이용하여 관측되지 않은 거리의 음압장을 추정할 수 있는 이론적 근거를 제공한다.^[18] 이러한 특성은 제한된 거리 구간에서 획득한 광대역 음장 정보로부터 외삽 구간에 대응하는 합성 학습 데이터를 생성하는 데 활용될 수 있다.

따라서 본 논문에서는 도파관 불변량 기반 외삽 정보를 해양 물리정보 신경망 학습 과정에 결합하여, 외삽 구간에서의 해양 음압장 예측 성능을 향상시키는 도파관 불변량 기반 해양 물리정보 신경망(Waveguide Invariant Aided Ocean Physics Informed Neural Network, WIPINN) 기법을 제안한다. 제안 방법은 관측 거리에서 획득한 광대역 음압 자료로부터 목표 주파수와 외삽 거리 조건에 대응되는 인접 주파수 성분을 추출하고, 거리 천이에 따른 위상 보정 인자를 적용하여 외삽 구간의 음압장을 추정한다. 이렇게 생성된 외삽점은 신경망 학습 과정에서 데이터 적합 손실에 추가로 반영되며, 이를 통해 기존 외삽 문제를 물리적으로 제약된 내삽 문제에 가깝게 변환한다.

제안한 도파관 불변량 기반 해양 물리정보 신경망의 성능은 천해 도파관 환경을 모사한 수치 시뮬레이션을 통해 검증하였다. 동일한 조건에서 도파관 불변량 기반 외삽점을 사용하지 않는 기존 기법과 비교한 결과, 기존 방법은 측정 구간 내부에서는 음압장을 잘 재구성하였으나 외삽 영역에서는 간섭 구조가 약화되고 음압 크기가 감쇠되는 경향을 보였다. 반면 제안 기법은 전방 및 후방 외삽 영역에서도 참값과 유사한 모드 간섭 패턴을 안정적으로 재현하였다. 또한 예측된 음압장을 정합장처리의 데이터 벡터 및 복제음장으로 각각 활용하여 음원 위치 추정 성능을 평가한 결과, 제안 방법은 외삽 구간과 잡음 조건에서도 기존 방법보다 안정적인 거리 추정 성능을 나타냈다.

본 논문의 구성은 다음과 같다. II장에서는 기존 해양 물리정보 신경망의 학습 구조와 도파관 불변량 기반 외삽점 생성 방법을 설명하고, 이를 결합한 도파관 불변량 기반 해양 물리정보 신경망의 학습 절차를 제시한다. III장에서는 수치 시뮬레이션을 통해 두 기법의 해양 음압장 예측 성능을 비교하고, 예측 음압장을 이용한 정합장처리 기반 거리 추정 성능을 평가한다. 마지막으로 IV장에서는 본 연구의 결론을 제시한다.

II. 이 론

본 장에서는 기존 물리정보 신경망을 활용한 해양 음압장 예측 기법인 OceanPINN의 이론^[14]과 한계인 외삽 성능 저하를 설명한다. 또한 이를 해결하고자 도파관 불변량^[18]을 적용한 새로운 기법 WIPINN을 수식적으로 설명한다.

2.1 해양 물리정보 신경망

본 절에서는 선행 연구에서 제안된 해양 물리정보 신경망의 이론적 배경과 네트워크 구조를 설명한다. 수중에서의 음향 전파는 파동방정식^[17]

(1)

\nabla^{2} p (r, t) - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} p (r, t)}{\partial t^{2}} = 0

으로 기술되며, $p (r, t$ 는 위치 벡터 $r$ 과 시간 $t$ 에 대한 음압장, ▽² 는 라플라시안 연산자, $c$ 는 매질의 음속을 의미한다. Eq. (1)을 주파수 영역으로 변환하면, 방위각 대칭 조건을 가정한 원통 좌표계에서 헬름홀츠방정식

(2)

\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial p (r, z)}{\partial r}) + \frac{\partial^{2} p (r, z)}{\partial z^{2}} + \frac{w^{2}}{c^{2} (z)} p (r, z) = 0

이 얻어진다. 여기서 $w$ 는 각주파수, $p (r, z)$ 는 거리 및 수심 좌표의 주파수 영역 음압장을 나타낸다. 음압장은 거리 방향으로 급격한 변동을 보이므로, 이를 직접 학습 대상으로 사용할 경우 신경망 학습이 어려워질 수 있다. 따라서 해양 물리정보 신경망은 포물선 방정식의 유도 과정에서 사용되는 포락선 변환^[17]

(3)

ψ (r, z) = \frac{p (r, z)}{H_{0}^{(2)} (k_{0} r)}

을 도입한다. 여기서 $H_{0}^{(2)}$ 는 제2종 한켈 함수를 나타내며, $k_{0} = w / c_{0}$ 는 기준 파수이고 기준 음속은 $c_{0} = 1500 m / s$ 로 설정한다. 포락선 𝜓는 원래 음압장보다 완만한 공간 변동을 가지므로 학습 대상으로 사용된다. 또한 수중에서 음압의 위상은 다양한 요인에 의해 민감하게 변동하는 반면, 크기는 이러한 변동에 비교적 둔감하다. 따라서 측정된 음압 크기 $| p (r, z) |$ 는

(4)

| ψ (r, z) | = \sqrt{\frac{π k_{0} r}{2}} | p (r, z) |

와 같이 포락선 크기 $| ψ (r, z) |$ 로 변환한 후 신경망의 학습 데이터로 활용한다. Eq. (3)을 Eq. (2)에 대입한 뒤 한켈 함수가 베셀 방정식을 만족함과 원거리 근사를 이용하여 정리하면

(5)

N_{ψ} [ψ] \equiv \frac{\partial^{2} ψ}{\partial r^{2}} - 2 i k_{0} \frac{\partial ψ}{\partial r} + \frac{\partial^{2} ψ}{\partial z^{2}} + k_{0}^{2} (n^{2} - 1) ψ = 0

이 도출된다. 여기서 $n (z) = c_{0} / c (z)$ 는 굴절률이다. Eq. (5)는 포락선 𝜓가 만족해야 할 지배 편미분방정식이며, 해수면 $z$ =0에서 pressure release 경계조건은 포락선에 대해 $ψ (r, 0) = 0$ 으로 표현된다.

출력값으로부터 복소 포락선은 $\hat{ψ} = {\hat{ψ}}_{r} + i {\hat{ψ}}_{i}$ 로 구성되며, 학습이 완료된 후 예측 음압장은 포락선과 한켈 함수의 곱을 통해 다음과 같이 복원된다.

(6)

\hat{p} = \hat{ψ} H_{0}^{(2)} (k_{0} r) .

해양 물리정보 신경망의 학습은 (i) Eq. (5)의 편미분방정식, (ii) 측정된 음압의 포락선 크기, (iii) 해수면 경계조건의 세 가지 정보를 손실 함수에 결합하여 진행되며, 전체 손실은

(7)

ℒ (θ) = λ_{N} ℒ_{N} (θ) + λ_{M} ℒ_{M} (θ) + λ_{B} ℒ_{B} (θ)

의 형태로 구성된다. 여기서 𝜃는 신경망의 학습 가능한 파라미터이며, $λ_{N,} λ_{M,} λ_{B}$ 는 각 손실 항의 가중치이다. Fig. 1은 본 연구에서 사용한 도파관 불변량 기반 해양 물리정보 신경망의 학습 프레임워크를 나타낸다. Fig. 1(a)는 거리 및 수심 평면에서 측정점, 도파관 불변량 기반 증강점, 콜로케이션점 및 경계점의 분포를 보여주며, Fig. 1(b)는 신경망 출력으로부터 각 손실항을 계산하고 전체 손실을 통해 학습 파라미터를 갱신하는 과정을 나타낸다.

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Fig. 1.

(Color available online) Training framework of the WIPINN. (a) Distribution of points in the range and depth plane: boundary points (red crosses), measurement points (blue circles), augmentation points based on the WI (green squares), and collocation points (purple triangles). The green dashed boxes indicate the regions in which the prediction performance of OceanPINN is improved by introducing the augmentation points based on the WI. (b) Architecture of the fully connected neural network and construction of the loss function, where the total loss consists of the PDE loss, the data fitting loss, and the boundary loss.

편미분방정식 잔차 손실 $ℒ_{N}$ 은 콜로케이션점 ${\{(r_{n}^{i}, z_{n}^{i})\}}_{i = 1}^{N_{n}}$ 에서 평가된다. Eq. (5)의 미분 연산자 $N_{ψ}$ 가 복소수 계수를 포함하므로 실수부 $f_{r}$ 과 허수부 $f_{i}$ 잔차를 분리하여 두 잔차 제곱항 평균

(8)

ℒ_{N} (θ) = \frac{1}{N_{n}} \sum_{i = 1}^{N_{n}} [f_{r}^{2} (θ; r_{n}^{i}, z_{n}^{i}) + f_{i}^{2} (θ; r_{n}^{i}, z_{n}^{i})]

이 편미분방정식 손실로 사용된다. 데이터 적합 손실 $ℒ_{M}$ 은 측정점 ${\{(r_{m}^{i}, z_{m}^{i})\}}_{i = 1}^{N_{m}}$ 에서 신경망 출력의 크기와 측정 크기가 일치하도록 강제하며, 포락선 크기 정보만을 사용하여

(9)

ℒ_{M} (θ) = \frac{1}{N_{m}} \sum_{i = 1}^{N_{m}} [{\hat{ψ}}_{r}^{2} (r_{m}^{i}, z_{m}^{i}) + {\hat{ψ}}_{i}^{2} (r_{m}^{i}, z_{m}^{i}) - {|ψ (r_{m}^{i}, z_{m}^{i})|}^{2}]

로 정의된다. 여기서 $r_{m}^{i}$ 는 실제 음원과 수신 배열 사이의 거리를, $z_{m}^{i}$ 는 수직 배열 센서의 수심을 나타낸다. 마지막으로 경계조건 손실 $ℒ_{B}$ 는 해수면 $z$ =0에 균일한 간격으로 배치된 경계점 ${\{(r_{b}^{i}, 0)\}}_{i = 1}^{N_{b}}$ 에서 평가되어

(10)

ℒ_{B} (θ) = \frac{1}{N_{b}} \sum_{i = 1}^{N_{b}} [{|\hat{ψ} (r_{b}^{i}, 0)|}^{2}]

로 정의된다. 여기서 $N_{n,} N_{m,} N_{b}$ 는 각각 콜로케이션점, 측정점, 경계점의 개수를 나타낸다.

이러한 학습 프레임워크를 통해 해양 물리정보 신경망은 측정점이 분포한 거리 및 수심 영역에서는 음압장을 정확히 재구성할 수 있다. 그러나 측정점이 존재하지 않는 외삽 구간에서는 예측 정확도가 저하되는 한계가 있다. 이는 학습 프레임워크의 구조에서 비롯된다. Eq. (5)는 동차 편미분방정식이므로 자명해 $\hat{ψ} \equiv 0$ 도 이를 만족하며, $ψ (r, 0) = 0$ 의 해수면 경계조건 역시 충족된다. 측정점이 분포한 영역에서는 Eq. (9)의 데이터 적합 손실 $ℒ_{M}$ 이 자명해와 정답해를 구별하지만, 측정점이 존재하지 않는 외삽 영역에서는 두 해를 구별할 수 있는 데이터 기반 손실항이 부재한다. 따라서 외삽 영역에서는 신경망이 자명해로 수렴하는 것을 억제할 제약이 충분하지 않으며, 이로 인해 예측 정확도가 저하될 수 있다. 반면, 측정점이 양쪽에 분포하는 내삽 영역에서는 해양 물리정보 신경망이 음압장을 정확히 예측할 수 있음이 보고된 바 있다.^[14] 따라서 외삽 영역에 측정 정보를 추가하여 외삽 문제를 내삽 문제로 변환하는 접근이 가능하다. 이때 추가 정보는 측정 구간의 음압장으로부터 물리적으로 일관되게 도출되어야 하며, 다음 절에서는 도파관 불변량 이론에 기반하여 이를 도출하는 방법을 제시한다.

2.2 도파관 불변량 기반 해양 물리정보 신경망

거리 독립 환경에서 음압장의 강도 $| p (r, w) |^{2}$ 를 거리 및 주파수 평면 $(r, w)$ 에 나타내면, 모드 간 간섭에 의해 등강도 줄무늬 구조가 형성된다. 이 줄무늬의 기울기는 도파관 불변량 𝛽을 이용하여

(11)

\frac{Δ w}{w} = β \frac{Δ r}{r}

로 기술되며, 𝛽는 군속도의 역수 $S_{g} = d k / d w$ 와 위상 속도의 역수 $S_{p} = k / w$ 의 변화율로부터

(12)

\frac{1}{β} = - \frac{d S_{g}}{d S_{p}}

로 정의되는 환경 의존 무차원 값이다. 일반적인 천해 환경에서는 해수면과 해저면 경계면에서의 반사가 우세한 모드 군의 분산 특성이 이상적인 도파관에서의 분산 특성과 유사하게 거동하므로, 음속구조, 주파수, 모드 번호 등 환경 세부 사항에 비교적 독립적이며, $β \approx c o s^{2} θ$ 로 근사할 수 있다. 특히 전파각 𝜃가 작은 도달파에 대해서는 𝛽≈1이 성립한다.^[17]

도파관 불변량 성질을 이용한 인접점으로의 음압 외삽을 위해, 먼저 기준점 $(r, w)$ 에서의 음압을 크기와 위상으로 분리한다. 주파수 영역 음압장의 정규모드 표현으로부터 원통형 확산 인자 $r^{- 1 / 2}$ 를 분리하면 음압은

(13)

p (r, ω) = r^{- 1 / 2} A (r, ω) e^{i (φ (r, w) - 3 π / 4)}

와 같이 표현된다. 음압장의 크기와 위상은 각각 $A (r, w)$ 와 $φ (r, w)$ 로 표현되며, 다음과 같다.

(14)

A (r, ω) = {[\sum_{l} \sum_{m} P_{l} P_{m} e^{- i Δ k_{l m} (ω) r}]}^{1 / 2},

(15)

φ (r, ω) = \arctan (\frac{\sum_{m} P_{m} \sin (k_{m} r)}{\sum_{m} P_{m} \cos (k_{m} r)}),

여기서 $P_{m} = Ψ_{m} (z_{s}) Ψ_{m} (z) / (2 ρ (z_{s}) \sqrt{2 π k_{m}})$ 이고, $Δ k_{l m} = k_{l} - k_{m}$ 은 $l$ 과 $m$ 번째 모드 사이의 수평 파수 차이이다.

다음으로 인접점에서의 음압 $p$ 의 크기 및 위상 변화를 살펴본다. 줄무늬가 $(r, w)$ 평면 위의 곡선으로 정의되므로, 인접점은 두 변수의 변화량 $∆ r$ 과 $∆ w$ 를 함께 고려해야 한다. 먼저 인접점에서의 크기 $A (r + Δ r, w + Δ w)$ 는 Eq. (14)으로부터

(16)

A (r + Δ r, w + Δ w) = {[\sum_{l} \sum_{m} P_{l} P_{m} e^{- i Δ k_{l m} (w + Δ w) (r + Δ r)}]}^{1 / 2}

와 같이 나타낼 수 있으며, $P_{m}$ 의 주파수 의존성은 매우 약하므로 그 변화를 무시할 수 있다. 도파관 불변량의 정의인 Eq. (12)를 이용하여 지수항을 $w$ 주위에서 1차 Taylor 전개한 뒤, 줄무늬 조건 Eq. (11)을 적용하면 Eq. (17)과 같다.^[18]

(17)

Δ k_{l m} (w + Δ w) (r + Δ r) \approx Δ k_{l m} (w) r .

줄무늬 곡선에서 $A (r + Δ r, w + Δ w) \approx A (r, w)$ 가 성립하며 이는, 음압의 크기가 인접점에서도 근사적으로 보존됨을 의미한다. 한편 인접점에서의 위상 변화는 1차 Taylor 전개를 통해

(18)

φ (r + Δ r, w + Δ w) - φ (r, w) \approx ζ Δ r + τ Δ w

와 같이 나타낼 수 있으며, 여기서 $ζ = \partial φ / \partial r$ 는 수평 파수, $τ = \partial φ / \partial w$ 는 군 지연을 나타낸다. 수평 파수 𝜁는 모드 크기의 제곱을 가중함수로 하는 가중 최소제곱 평균을 통해 평균 수평 파수 $\bar{k}$ 로 근사할 수 있으며 ( $ζ \approx \bar{k}$ ), 해수면과 해저면 경계면에서의 반사 모드가 일반적인 천해 환경에서는 $\bar{k} \approx w / c_{0}$ 가 근사적으로 성립한다.

인접 거리에서 원통형 확산 인자 $r^{- 1 / 2}$ 의 변화를 무시하면, 인접점 $(r + Δ r, w + Δ w)$ 에서의 음압은

(19)

p (r + Δ r, w + Δ w) \approx p (r, w) e^{- i τ Δ w} e^{- i w Δ r / c_{0}}

와 같이 나타낼 수 있다. Eq. (19)는 거리 및 주파수 평면에서 두 단계의 천이로 해석할 수 있다. 첫 번째 단계는 기준 거리 $r$ 을 유지한 채 주파수 축을 따라 $w \to w + Δ w$ 로 이동하는 천이이며, 위상 인자 $e^{- i τ Δ w}$ 로 기술된다. 즉, 동일 거리에서 인접 주파수의 음압은

(20)

p (r, w + Δ w) \approx p (r, w) e^{- i τ Δ w}

와 같이 군 지연 𝜏에 의한 위상 변화로 연결된다. 두 번째 단계는 주파수 $w + Δ w$ 를 유지한 채 거리 축을 따라 $r \to r + Δ r$ 로 이동하는 천이로, 평균 위상 속도에 의한 위상 인자 $e^{- i w Δ r / c_{0}}$ 로 기술된다. 즉, 동일 주파수에서 인접점의 음압은

(21)

p (r + Δ r, w + Δ w) \approx p (r, w + Δ w) e^{- i w Δ r / c_{0}}

와 같이 거리 차에 비례한 위상 변화로 연결된다.

이상의 인접점 음압 관계식을 해양 물리정보 신경망의 외삽 문제에 적용하기 위해 다음 측정 환경을 고려한다. 외삽의 기준이 되는 측정점 $r_{0}$ 에서 광대역 음원의 음압이 측정되어 주파수 범위 $w \in [w_{1,} w_{2}]$ 내의 다양한 주파수 성분 $p (r_{0}, w)$ 를 추출할 수 있다고 가정하자. 목표는 측정 구간을 넘어선 외삽점 $r_{0} + Δ r$ 에서의 단일 주파수 $w_{t}$ 음압 $\hat{p} (r_{0} + Δ r, w_{t})$ 를 추정하는 것이다. 변수 대응 $r = r_{0}, w' + Δ w = w_{t}$ 를 적용한다. $w'$ 은 광대역 측정 데이터에서 추출되는 주파수이며, 목표 주파수 $w_{t}$ 로부터 $∆ w$ 만큼 천이된 주파수이다. Eq. (11)으로부터 두 변수의 변화량은

(22)

Δ w \approx w_{t} \frac{Δ r}{r_{0}}

로 결정되며, 광대역 측정 데이터에서 추출해야 할 주파수 성분은

(23)

w^{'} = w_{t} - Δ w \approx w_{t} (1 - \frac{Δ r}{r_{0}})

으로 주어진다. 광대역 측정 데이터에서 추출 주파수 성분 $p (r_{0}, w^{'})$ 를 직접 얻으면 주파수 천이에 따른 위상 변화가 이미 반영되어 있으므로, 별도의 $e^{- i τ Δ w}$ 항을 곱할 필요가 없다. 따라서 거리 천이 위상 인자만 추가로 적용하면 외삽점에서의 음압은

(24)

\hat{p} (r_{0} + Δ r, w_{t}) \approx p (r_{0}, w^{'}) e^{- i w_{t} Δ r / c_{0}}

과 같이 광대역 측정의 추출 주파수 성분과 목표 주파수 기반의 거리 천이 위상 인자의 곱으로 계산된다.

Fig. 2는 이상적인 도파관 환경에서 Eq. (24)를 검증한 수치 시뮬레이션 결과이다. 시뮬레이션 환경은 수심 $100 m$ , 등음속 $c_{0} = 1500 m / s$ 의 도파관을 가정하였으며, 해수면과 해저면에는 각각 pressure release와 rigid bottom 경계조건을 적용하였다. 음원 수심은 $z_{s} = 5 m,$ 수신기 수심은 $z = 75 m,$ 목표 주파수는 $100 H z$ 로 설정하였고, 전파각 𝜃≤25°이내의 모드만을 고려하였다.

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Fig. 2.

(Color available online) Numerical verification of extrapolation based on the waveguide invariant. Comparison between the extrapolated values (red solid line) and the ground truth (black solid line). (a) Extrapolation in the forward direction ( $∆ r$ <0) from the reference point $r_{0} = 2.5 k m$ , and (b) extrapolation in the backward direction ( $∆ r$ >0) from $r_{0} = 4.5 k m$ , both at 5 m intervals. The target frequency is set to $100 H z$ , and the red arrow indicates the direction of extrapolation. From top to bottom, the rows show the envelope magnitude $| ψ (r, z) |$ , real part $ψ_{r} (r, z)$ , and imaginary part $ψ_{i} (r, z)$ , respectively.

좌측 패널은 $r_{0} = 2.5 k m$ 를 기준점으로 전방( $∆ r$ <0) 방향으로 $r = 2.0 k m$ 까지 외삽한 결과이며, 우측 패널은 $r_{0} = 4.5 k m$ 를 기준점으로 후방( $∆ r$ >0) 방향으로 $r = 5.0 k m$ 까지 외삽한 결과이다. 두 경우 모두 외삽은 $5 m$ 간격으로 수행하였다. 참값(검은 실선)은 KRAKEN 모델을 이용하여 $100 H z$ 음장을 계산한 후 Eq. (3)의 변환을 적용하여 얻은 포락선이며, 외삽값(빨간 실선)은 광대역 모의 음장에서 추출한 인접 주파수 성분 $p (r_{0}, w')$ 에 거리 천이 위상 인자 $e^{- i w Δ r / c_{0}}$ 를 곱하여 Eq. (24)으로 계산한 뒤 포락선 변환을 적용한 결과이다. 추출 주파수 $w' / 2 π$ 는 Eq. (23)에 따라 좌측 패널의 경우 $100 H z - 120 H z$ , 우측 패널의 경우 $89 H z - 100 H z$ 대역에서 결정된다. 외삽 결과는 두 영역 모두에서 포락선의 크기뿐만 아니라 실수부와 허수부가 참값과 잘 정합함을 보여준다. 이는 도파관 불변량 기반 외삽이 크기 정보뿐 아니라 위상 정보까지 물리적으로 일관되게 복원함을 의미한다. 외삽 거리가 증가함에 따라 오차가 다소 증가하였으나, 전반적인 간섭 패턴은 안정적으로 보존된다. 이로써 측정 구간 외부에 분포한 외삽점에서의 음압을 Eq. (24)를 통해 추정하여 Eq. (9)의 데이터 적합 손실에 추가함으로써, 외삽 영역에서의 예측 성능을 개선하는 도파관 불변량 기반 해양 물리정보 신경망 학습이 가능해진다.

III. 수치시뮬레이션 결과

본 절에서는 제안된 도파관 불변량 기반 해양 물리정보 신경망의 성능을 검증한다. 3.1절에서는 시뮬레이션 환경과 학습 설정을 기술하고, 제안 방법으로 예측된 음압장을 기존 해양 물리정보 신경망의 예측 결과와 비교하여 외삽 영역에서의 예측 성능을 평가한다. 3.2절과 3.3절에서는 예측된 음압장을 정합장처리의 데이터 벡터와 복제음장으로 각각 활용하여, 제안 방법이 외삽 구간에서도 음원 거리 추정에 충분한 정확도의 음압장을 제공하는지를 정량적으로 검증한다.

3.1 음압장 예측 결과

시뮬레이션 환경은 Fig. 3에 도시되어 있다. 동중국해 북동부에서 수행된 Shallow water Acoustic Variability Experiment, 2015(SAVEX15) 실험의 수심 $100 m$ 환경을 모사하였다. 좌측에 도시된 음속 구조는 Conductivity, Temperature, and Depth(CTD) 측정 결과를 평균하여 얻은 것으로, $1494 - 1512 m / s$ 범위의 변동을 보이며 수심 약 $40 m$ 에 음속 채널을 형성한다. 수신 배열은 $25 m$ 에서 $81.25 m$ 사이의 수심에 $d = 3.75 m$ 간격으로 배치된 16채널 수직 선배열이며, 음원 수심은 $z_{s} = 5 m$ 로 설정하였다. Fig. 3의 여러 음원 표기는 동일 수심에서 거리 방향으로 이동하는 단일 음원의 대표 위치를 도식적으로 나타낸 것이다.

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Fig. 3.

(Color available online) Simulation environment configuration. The SAVEX15 environment in the northeastern East China Sea is modeled with a water depth of $100 m$ . A 16-channel vertical array with an intersensor spacing of $3.75 m$ is deployed at depths ranging from 25 to $81.25 m$ . The source depth is fixed at $z_{s} = 5 m$ , and the multiple source symbols indicate representative positions of a single moving source along the range direction. The distributions of the measurement points (blue circles) and the extrapolation points (green squares) are shown in the plane defined by range and depth. Bottom geoacoustic parameters: sound speed $c_{b} = 1650 m / s$ , density $ρ_{b} = 1.97 g / c m^{3}$ , and attenuation $α_{b} = 0.94 d B / λ$ .

해저면은 지음향 파라미터를 이용하여 모델링하였으며, 음속, 밀도 및 감쇠 계수는 각각 $c_{b} = 1650 m / s$ , $ρ_{b} = 1.97 g / c m^{3}$ , $α_{b} = 0.94 d B / λ$ 이다. 음원 주파수는 $f = 200 H z$ 로 설정하였다. 본 환경에서 사용된 모든 음장은 KRAKEN 모델^[19]을 이용하여 생성하였다.

학습 데이터는 다음과 같이 구성된다. 측정점은 거리 구간 $2.5 k m - 3.0 k m$ , $3.3 k m - 3.7 k m$ , $3.9 k m - 4.5 k m$ 에서 거리 방향으로 $25 m$ 간격으로 배치하였으며, 수심 방향으로는 수직 선배열의 16개 수심을 사용하였다. 외삽점은 측정 구간의 최외곽 측정점을 기준으로 Eq. (24)에 따라 산출되며, $r_{0} = 2.5 k m$ 로부터 전방 방향으로 외삽한 결과를 2.000, 2.025, 2.250, 2.275 km에, $r_{0} = 4.5 k m$ 로부터 후방 방향으로 외삽한 결과를 4.725, 4.750, 4.975, 5.000 km에 배치하였다. 각 외삽점은 측정점과 동일한 수직 선배열 수심에 위치하도록 구성하였다. 콜로케이션점은 거리–수심 계산 영역 $r \in [2.0, 5.0] k m, z \in [0, 100] m$ 에 균일 분포로 배치하였고, 경계점은 동일한 거리 구간의 해수면 $z$ =0에 균일 간격으로 배치하였다. 신경망 학습에는 Adam 옵티마이저를 사용하였으며, 총 1.2 × 10⁶ epoch 동안 학습을 수행하였다. 손실 가중치는 두 방법 모두 $λ_{M} = 1, λ_{B} = 1$ 로 고정하고, 편미분방정식 잔차 손실의 가중치 $λ_{N}$ 은 해양 물리정보 신경망의 경우 10⁴, 도파관 불변량 기반 해양 물리정보 신경망의 경우 10³으로 각각 다르게 설정하였다. 두 가중치는 사전 실험을 통해 여러 후보값 중 각 방법에서 가장 우수한 예측 성능을 보인 값으로 선정되었으며, 본 논문에는 별도의 비교 결과를 제시하지 않는다. 신경망 구조와 그 외의 학습 하이퍼파라미터는 두 방법에서 동일하게 설정하였으며, 두 방법의 유일한 차이는 도파관 불변량 기반 해양 물리정보 신경망이 데이터 적합 손실 $ℒ_{M}$ 의 평가에 외삽점을 추가로 활용한다는 점이다.

Fig. 4는 해양 물리정보 신경망 및 도파관 불변량 기반 해양 물리정보 신경망이 예측한 음압장의 크기를 참값[Fig. 4(a)]과 비교하여 보여주며, 모든 음압장은 각각의 최댓값으로 정규화하여 나타내었다. 검은 실선 박스로 표시된 세 측정 구간 내부에서는 두 방법[Fig. 4(b), (c)] 모두 참값의 모드 간섭 패턴을 정확하게 재구성한다. 그러나 측정 구간 외부에서는 두 방법의 예측 결과가 뚜렷한 차이를 보인다. 해양 물리정보 신경망의 예측 결과는 외삽 영역 $r \in [2.0, 2.5] k m$ 및 $r \in [4.5, 5.0] k m$ 에서 참값으로부터 크게 벗어나며, 간섭 구조가 대부분 소실되고 음압 크기가 현저히 감쇠된다. 반면 도파관 불변량 기반 해양 물리정보 신경망은 두 외삽 영역 모두에서 참값과 잘 정합하는 모드 간섭 패턴을 안정적으로 예측한다. 이는 광대역 측정 데이터로부터 도파관 불변량 관계식을 통해 산출된 외삽점이 데이터 적합에 포함됨으로써, 측정 구간 외부에서의 예측 정확도 저하를 효과적으로 보완함을 보여준다.

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Fig. 4.

(Color available online) Normalized magnitude (in dB) of the predicted acoustic pressure field at $200 H z$ in the SAVEX15 environment. (a) Ground truth computed by KRAKEN, (b) prediction by OceanPINN, and (c) prediction by WIPINN. The black boxes indicate the range intervals in which the vertical line array measurements are available.

3.2 정합장처리를 통한 정량적 검증

예측된 음압장의 정합도를 정량적으로 평가하기 위해, 이를 정합장처리의 데이터 벡터로 활용하여 거리 및 수심의 2차원 모호 함수를 계산한다. 각 평가 거리에서 데이터 벡터는 예측된 음압장으로부터 추출한 16채널 수직 선배열 수심의 음압이며, 복제음장은 Fig. 3의 환경에 대해 $r \in [2, 5] k m$ , $r \in [0, 100] k m$ 영역에서 KRAKEN으로 생성하였다. 모호 함수는 Bartlett 프로세서

(25)

B (r, z) = \frac{{|w^{H} (r, z) d|}^{2}}{‖ w (r, z) ‖^{2}}

로 계산되며, 여기서 $d \in ℂ^{16}$ 는 데이터 벡터, $d (r, z) \in ℂ^{16}$ 는 복제음장으로부터 추출한 후보 위치 $(r, z)$ 의 벡터, 위첨자 $H$ 는 켤레 전치를 의미한다.

Fig. 5는 세 평가 거리에서 Eq. (25)를 통해 계산된 모호 함수를 보여준다. 1열은 전방 외삽 영역의 $2.2 k m$ , 2열은 내삽 영역의 $r = 3.5 k m$ , 3열은 후방 외삽 영역의 $r = 4.8 k m$ 에서의 데이터 벡터를 사용한 결과이다. 1행은 참값, 2행은 해양 물리정보 신경망, 3행은 도파관 불변량 기반 해양 물리정보 신경망의 예측 음압장에 대한 결과이다. 내삽 영역인 2열에서는 세 가지 데이터 모두 참 음원 위치에서 뚜렷한 상관 피크를 형성하는 거의 동일한 모호 함수를 산출하며, 측정점이 분포한 영역에서는 두 신경망이 음압장을 정확하게 예측함을 확인할 수 있다. 외삽 영역인 1열과 3열에서는 두 방법의 예측 결과가 뚜렷한 차이를 보인다. 해양 물리정보 신경망의 예측 결과를 데이터로 활용한 경우(2행)에는 참 음원 위치에 일관된 피크가 형성되지 않는데, 이는 외삽 영역에서의 부정확한 예측을 의미한다. 반면 도파관 불변량 기반 해양 물리정보 신경망의 예측 결과를 데이터로 활용한 경우(3행)의 모호 함수는 참값(1행)과 매우 유사하며, 참 음원 위치 근방에서 지배적인 피크가 관찰된다. 이는 도파관 불변량 기반 해양 물리정보 신경망이 외삽 영역에서도 정합장처리에 필요한 모드 간섭 구조와 위상 정보를 일관되게 예측함을 의미한다.

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Fig. 5.

(Color available online) Bartlett ambiguity surfaces (in dB) at three representative ranges, computed by Eq. (25). The data vector is taken from the vertical line array pressure at the specified range, and the replica field is generated by KRAKEN for the environment of Fig. 3. From top to bottom, the rows show the results obtained using the ground truth field, the OceanPINN prediction, and the WIPINN prediction, respectively. Columns (a), (b), and (c) correspond to $r = 2.2 k m$ in the forward extrapolation region, $r = 3.5 k m$ in the interpolation region, and $r = 4.8 k m$ in the backward extrapolation region, respectively.

전체 거리 구간에서의 추정 성능을 정량적으로 평가하기 위해, Fig. 5에서 수행한 모호 함수 계산을 $r \in [2, 5] k m$ 구간에서 $5 m$ 간격으로 반복하여, 각 모호 함수의 최댓값에 해당하는 거리 및 수심 좌표를 기록하였다. Fig. 6은 추정된 거리(1행)과 수심(2행)을 요약한 결과이며, 검은 실선은 참값을, 수직 점선은 내삽 영역과 외삽 영역의 경계를 나타낸다. 해양 물리정보 신경망을 데이터로 활용한 경우[Fig. 6(a)]에는 내삽 영역과 그 경계로부터 약 $250 m$ 이내의 외삽 거리까지는 추정값이 참값에 근접하지만, 그 이상의 외삽 거리에서는 추정값이 급격히 분산된다. 반면 도파관 불변량 기반 해양 물리정보 신경망을 데이터로 활용한 경우 [Fig. 6(b)]에는 두 외삽 영역을 포함한 전 구간에서 거리와 수심 추정 모두 참값에 근접하게 유지된다. Fig. 6(c)에 비교된 상대 거리 오차도 이러한 관찰을 뒷받침한다. 도파관 불변량 기반 해양 물리정보 신경망은 전 구간에서 낮은 수준의 오차를 유지하는 반면, 해양 물리정보 신경망의 오차는 내삽 경계로부터 거리가 멀어질수록 급격히 증가한다.

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Fig. 6.

(Color available online) Source localization results obtained by Bartlett processing with the predicted field as the data vector, evaluated at 5 m range intervals over r ∈ [2.0,5.0] km. From top to bottom, the rows show the estimated range and depth corresponding to the peak of the ambiguity surface, respectively. (a) Results obtained using the OceanPINN predicted field, (b) results obtained using the WIPINN predicted field, and (c) the corresponding relative errors. The upper and lower panels in (c) represent the relative errors in the estimated range and depth, respectively. The solid black lines indicate the true source range and depth, and the vertical dotted lines mark the boundaries between the interpolation and extrapolation regions.

3.3 정합장처리 복제음장으로의 활용: 음원 거리 추정

수중 음원 거리 추정을 위한 정합장처리는 일반적으로 신경망이 예측한 음압장을 복제음장으로 활용하고, 측정된 음압을 데이터 벡터로 사용한다. 본 절에서는 이러한 응용 시나리오를 모사하여, 각 평가 거리에서 KRAKEN으로 모의된 음장을 데이터 벡터로 두고 해양 물리정보 신경망 및 도파관 불변량 기반 해양 물리정보 신경망의 예측 결과를 복제음장으로 사용하여 거리 추정을 수행한다. 잡음에 대한 강건성을 함께 평가하기 위해 데이터 벡터에 복소 가우시안 잡음을 가산하였다. 음원이 거리를 따라 이동하고 음원 레벨이 일정하다고 가정하므로, 신호대잡음비는 음원과 수신기 사이의 거리가 가장 먼 지점에서 계산한 채널 평균 신호 전력과 잡음 분산의 비로 정의하였으며, $- 5, 0, + 5, + 10 d B$ 의 조건에서 거리 추정 성능을 평가하였다.

Fig. 7은 거리 추정 결과를 나타낸다. 각 마커는 해당 평가 거리에서의 참 거리 대비 추정 거리를 나타내며, 1행과 2행은 각각 해양 물리정보 신경망과 도파관 불변량 기반 해양 물리정보 신경망의 예측 음압장을 복제음장으로 활용한 결과이다. 1열부터 4열은 각각 신호 대 잡음비 $- 5, 0, + 5, + 10 d B$ 조건에 해당하며, 검은 대각선은 참 거리를, 수직 점선은 내삽 영역과 외삽 영역의 경계를 나타낸다. 해양 물리정보 신경망을 복제음장으로 활용한 경우에는 내삽 영역에서 신호 대 잡음비가 증가함에 따라 추정값이 참 거리에 점차 정합되어 가나, 외삽 영역에서는 신호 대 잡음비와 무관하게 추정값이 참 거리에서 크게 벗어난다. 이는 해양 물리정보 신경망의 외삽 영역 추정 성능 저하가 잡음에 의한 것이 아님을 나타낸다. 반면 도파관 불변량 기반 해양 물리정보 신경망을 복제음장으로 활용한 경우에는 두 외삽 영역을 포함한 전 구간에서 추정값이 참 거리 대각선 상에 밀집되어 분포한다. 신호 대 잡음비가 $+ 10 d B$ 에서 $- 5 d B$ 로 감소함에 따라 추정값에서 잡음의 효과에 부합하는 점진적 분산 증가가 관찰된다. 이상의 결과는 도파관 불변량 기반 해양 물리정보 신경망이 정합장처리의 복제음장으로 활용 가능한 정확도의 음압장을 전 거리 구간에 걸쳐 예측함을 입증한다.

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Fig. 7.

(Color available online) Source range estimation by matched field processing using the predicted field as the replica and the field simulated by KRAKEN with additive complex Gaussian noise as the data vector. From top to bottom, the rows show the results obtained using the OceanPINN and WIPINN predicted fields as the replica fields, respectively. Columns (a), (b), (c), and (d) correspond to signal to noise ratios of −5 dB, 0 dB, +5 dB, and +10 dB, respectively. The solid black diagonal lines indicate the true source range, and the vertical dotted lines mark the boundaries between the interpolation and extrapolation regions.

한편 Figs. 6 , 7에서 전방 방향 외삽 결과의 오차가 후방 방향에 비해 상대적으로 크게 나타나는 것을 확인할 수 있다. 일반적으로 WI를 이용하여 수평 방향 음장을 예측할 때, 기준 거리 또는 기준 주파수 주변의 약 10 % 내외 범위를 외삽 적용 범위로 고려할 수 있다. 본 연구에서는 전방 방향 외삽이 상대적으로 가까운 기준 거리에서 수행되므로, 후방 방향 외삽에 비해 기준 거리 대비 외삽 거리 비율이 더 크게 나타난다. 이로 인해 전방 방향 외삽에서 WI 기반 외삽의 근사 오차가 상대적으로 크게 반영될 수 있다. 또한 본 연구에서는 𝛽=1을 가정하였으나, 실제 도파관 환경에서 𝛽는 거리, 모드 구조 및 음파의 전파 각도(grazing angle)에 따라 달라질 수 있으므로, 근접 거리에서 수행되는 전방 방향 외삽의 경우 이러한 가정에 따른 오차가 추가적으로 반영될 수 있다.

IV. 결 론

본 논문에서는 기존 해양 물리정보 신경망의 외삽 성능 저하 문제를 보완하기 위해 도파관 불변량 기반 해양 물리정보 신경망을 제안하였다. 기존 방법은 헬름홀츠 방정식으로부터 유도된 포락선 지배방정식, 측정 음압 크기, 해수면 경계조건을 손실 함수에 반영하여 측정 영역 내부의 음압장을 효과적으로 재구성할 수 있다. 그러나 측정점이 존재하지 않는 외삽 영역에서는 데이터 적합 손실이 적용되지 않기 때문에, 모드 간섭 구조와 위상 정보를 안정적으로 예측하는 데 한계가 있다.

이를 보완하기 위해 본 연구에서는 거리 및 주파수 평면에서 나타나는 음압 강도의 줄무늬 구조를 도파관 불변량으로 해석하고, 목표 주파수 및 외삽 거리 조건에 대응되는 인접 주파수 성분을 활용하였다. 또한 거리 천이에 따른 위상 보정 인자를 적용하여 측정 구간 외부의 음압장을 추정하고, 이를 신경망 학습 과정의 추가 데이터 적합 조건으로 반영하였다. 이를 통해 외삽 영역에서도 물리적으로 일관된 음압장 구조를 학습할 수 있도록 하였다.

수치 시뮬레이션 결과, 기존 해양 물리정보 신경망은 측정 구간 내부에서는 참값과 잘 정합하는 음압장을 예측하였으나, 외삽 영역에서는 간섭 구조가 소실되고 음압 크기가 크게 감쇠되는 경향을 보였다. 반면 제안한 도파관 불변량 기반 해양 물리정보 신경망은 전방 및 후방 외삽 영역 모두에서 참값과 유사한 모드 간섭 패턴을 안정적으로 재현하였다. 이는 도파관 불변량을 통해 산출된 외삽점이 측정 영역 외부에서도 신경망이 올바른 음압장 구조를 학습하도록 효과적으로 제약함을 의미한다.

또한 예측된 음압장을 정합장처리에 적용하여 거리 및 수심 추정 성능을 평가한 결과, 제안 방법은 외삽 영역을 포함한 전체 거리 구간에서 참 음원 위치 근방에 안정적인 모호 함수 피크를 형성하였다. 이에 따라 거리 및 수심 추정 결과도 참값에 근접하게 유지되었다. 특히 예측 음압장을 복제음장으로 활용한 잡음 조건의 거리 추정에서도, 제안 방법은 신호대잡음비 조건 전반에서 기존 방법보다 안정적인 추정 성능을 보였다.

따라서 본 연구 결과는 도파관 불변량 기반 외삽 정보를 해양 물리정보 신경망에 결합함으로써, 제한된 측정 자료만으로도 측정 구간 외부의 음압장을 효과적으로 예측할 수 있음을 보여준다. 더 나아가 제안 방법으로 예측된 음압장은 정합장처리의 복제음장으로 활용될 수 있으며, 잡음이 포함된 제한적 배열 측정 환경에서도 수중 음원 거리 추정의 강건성을 향상시킬 수 있는 가능성을 제시한다.

Acknowledgements

이 논문은 2026년도 정부(방위사업청)의 재원으로 국방기술진흥연구소의 지원을 받아 수행된 연구임. (No. KRIT-CT-23-026, 미래 기술 적응형 통합수중감시 특화연구센터, 2026, 50 %)와 The Office of Naval Research(ONR)의 지원(50 %)을 일부 받아 수행되었음.

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The Journal of the Acoustical Society of KoreaISSN:1225-4428(Print) 2287-3775(Online)한국음향학회

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Acoustic pressure field prediction based on the waveguide invariant using ocean physics informed neural networks

ABSTRACT

MAIN

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

Fig. 1.

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

Fig. 2.

Fig. 3.

Fig. 4.

(25)

Fig. 5.

Fig. 6.

Fig. 7.

Acknowledgements

References