I. 서 론
세계 원유 및 천연가스 매장량의 약 75 %가 해저에 존재하여 많은 해양 플랜트가 설치되어 해저 원유와 천연가스 채굴에 사용되고 있다. 채굴 및 정제과정에서 고온 및 고압의 가스가 발생하기 때문에, 이를 처리하기 위하여 배관 시스템이 필수적으로 필요하며, 이러한 고온 및 고압의 가스로 인한 배관 파손이 빈번하게 발생하고 있다. UK’s Health & Safety Executive for the offshore industry에 따르면 배관의 파손의 원인 중 20 %는 배관의 진동에 의한 피로 손상에 기인한 것으로 판단하고 있다.[1] 진동에 의한 피로손상의 원인 중 하나로 감압장치 후단에서 발생한 높은 음향에너지를 들 수 있다. 고온/고압의 유체가 감압장치를 지나며 이른바 와류파와 엔트로피파와 관련된 에너지가 음향에너지로 변환되어 배관 하류로 전달되며 심각한 배관 진동 및 손상을 유발하는데 이러한 현상을 음향유기진동(Acoustic Induced Vibration, AIV)이라 한다. AIV에 의한 배관 진동은 큰 소음을 동반하며, 일반적으로 500 Hz에서 2000 Hz의 고주파의 진동으로 수 분 내로 피로파괴가 발생하게 된다. 1980년대에 음향유기진동에 의한 배관의 파손이 보고된 이후 많은 연구들이 수행되었고 이를 기초로 배관 설계기준들이 마련되었다. Carucci와 Mueller[2]는 당시 배관의 파손 사례들을 조사하여 음향유기진동에 의한 피로 파괴 사례를 구분하였으며, 음향유기진동에 의한 배관 파손을 예방하기 위해 배관 직경을 이용한 설계 기준을 제시하였다. Eisinger와 Francis[3,4]는 배관 직경과 배관의 두께를 고려한 설계 기준을 제시하였으며, Eisinger와 NORSOK[5]는 배관 설계를 위한 기준식을 제시한 바 있다. 이러한 설계기준의 대부분은 단순 경험식에 의해 제시된 것으로서 사용 편의성을 장점으로 가지나 경험식의 특성상 관련된 물리적 발생 메커니즘에 대한 이해에 한계를 보이며, 적절한 경제적 해결방법을 마련하는 데는 어려움이 따른다. 이에 본 연구에서는 유동 소음을 예측하기 위한 기본 원칙에 기초하여 배관 음향유기진동 문제를 접근하고 해석할 수 있는 방법론을 개발함으로써 소음원을 규명하고, 소음 예측 결과로부터 배관 파손에 기여하는 주파수 및 모드 정보를 제공하고자 하였다. Nyquist 주파수를 10,000 Hz로 선정하여 LES(Large-Eddy Simulation) 기반의 고정밀 유동 해석을 실시하여 높은 해상도의 유동장 해석결과를 얻었으며, 해석결과로부터 소음원을 추출하기 위하여 파수-주파수 분석을 실시하였다.
II. 배관 내 등엔트로피 이론해
일반적으로 사용하는 압력 강하 밸브의 경우 Fig. 1과 같이 오리피스 형태의 단순 수축-확장 배관으로 근사할 수 있으며, 오리피스 배관에서의 유동 현상은 배관의 중심인 축을 따라 1차원 등엔트로피 과정으로 이론해를 도출할 수 있다.[6]
, (1)
여기서 
는 배관의 단면적과 임계 단면적이며, 임계 단면적은 질식유동이 형성되는 배관의 면적을 의미하며, 본 연구에서는 노즐 목의 면적과 같다. 
은 유동의 마하수를 의미하며, 
는 유동의 비열비이다.
Eq. (1)과 같이 배관 내 유동의 마하수는 배관 면적의 함수로 나타낼 수 있으며, 마하수로부터 배관 내 압력과 온도를 다음과 같이 구할 수 있다.
, (2)
, (3)
여기서 
는 배관 내 정압(static pressure)과 전압(total pressure)이며, 
는 정온도(static temperature)와 전체온도(total temperature)를 의미한다.
배관은 고온 고압 조건에서 운용되므로 노즐 목 부근에서 충격파를 발생시키며, 배관의 상류 방향에서의 정보를 기반으로 하류 방향의 충격파의 위치와 충격파 상, 하류 방향의 이론해를 도출할 수 있다.[6]
, (4)
, (5)
여기서 하첨자 1, 2는 각각 충격파 상류와 하류에서의 유동장 정보를 의미한다.
III. 파수-주파수 분석
유동이 감압밸브를 지나면서 밸브 후단에서 발생하는 급격한 압력 저하는 높은 음향에너지를 발생시키는 소음원으로 작용한다. 이러한 음향에너지는 하류 방향을 따라 음속으로 전파되면서 벽면을 가진시키는 가진원으로 작용하며, 이로 인해 배관의 용접부와 같은 불연속면에서 피로파괴가 발생한다. 따라서 유동에 의한 소음을 수치적으로 예측하기 위하여 배관 벽면에서 발생하는 유동에 의한 압력 섭동을 비압축성 압력섭동과 압축성 압력 섭동으로 분리해주어야 한다. 비압축성 압력 섭동이란, 유체 밀도의 섭동과 관련 없이 발생하는 압력 변동으로 유체역학적 압력 섭동을 의미하며 유체 내 와류 섭동 대류 속도와 동일한 속도로 전파된다. 압축성 압력 섭동이란, 유체 내의 밀도, 속도와 같이 동기되어 발생하는 변동인 음향파를 뜻하며, 음속에 준하거나 혹은 그 이상의 속도로 전파된다. 비압축성 압력 섭동은 유동현상에 의한 가진원으로 분류할 수 있으므로 유체 유발 진동(Fluid Induced Vibration, FIV)에 속하며, 압축성 압력 섭동은 음향파에 의한 배관 진동을 유발하므로 음향유기진동이다. 일반적으로 음향유기진동은 배관 벽면을 따라 매우 빠르게 전파되며 수분 내로 배관이 파손된다. 본 연구에서는 음향파에 의한 배관 파손을 대상으로 하고 있으므로, 압력 섭동을 비압축성 성분과 압축성 성분으로 분리하기 위하여 파수-주파수(wavenumber-frequency analysis) 푸리에 변환을 통해 벽면에서의 압력 섭동 성분으로부터 비압축성 성분과 압축성 성분을 분리한다.[7]
먼저 원통형 배관에서 유속이 있는 경우에 대한 파동 방정식의 이론해는 다음과 같으며, 공간 좌표 
와 시간 좌표 
로 표현되는 공간-시간 함수이다.[8]
, (6)
, (7)
시간과 공간에 대해 이산화된 압력섭동 신호를 푸리에 변환하면 파수-주파수 선도를 얻을 수 있으며, 다음과 같은 변환식으로 나타난다. 가중 함수로는 Hanning window를 사용하였다.
, (8)
, (9)
여기서 
은 데이터 개수, 
는 파수를 의미하며, 
는 유동장으로부터 얻어지는 압력이며, 
는 Hanning window이다.
IV. 정상상태 RANS 해석
배관 입구와 출구의 높은 압력 차이에 따라 유도되는 배관 내 초음속 유동은 오리피스를 지나면서 충격파를 발생시킨다. 해석 코드를 검증하고 비정상 상태 해석의 초기값으로 활용하기 위해 먼저 3차원 압축성 정상 상태 유동을 모델링하였으며, 그 결과를 앞서 언급한 이론해와 비교하였다. 정상 해석을 위하여 다음과 같은 RANS(Reynolds-Averaged Navier-Stokes) 방정식을 사용하였다.
, (10)
, (11)
, (12)
여기서 
는 에너지, 
는 열전도율이며, 
는 응력텐서이며, 다음과 같이 표현된다.
, (13)
는 유동의 점성이며, 
는 단위 텐서이다.
해석을 위해 고려한 형상은 Fig. 2와 같으며, 격자 수는 273만개를 사용하였다. 적용된 경계조건은 산업현장에서 사용하는 설계값을 고려하여, 입구와 출구에 모두 압력조건을 고려하였으며, 벽면은 단열 벽면 조건을 적용하였고, Fig. 2에 나타낸 바와 같다.
전산해석은 상용코드인 Fluent를 이용하였으며, 압축성 유동을 해석하기 위하여 밀도 기반(density-based)의 해석을 수행하였다. 배관 내 유체는 이상기체로 가정하였으며, 지배방정식은 내재적(implicit) 방법을 통해 연속 방정식과 운동량 방정식, 그리고 에너지 방정식을 동시에 풀며, 유동의 차분화 방법은 충격파와 같은 급격한 유동 특성의 변화를 모사하기 위하여 풍상차분법(upwind scheme)을 적용하였다.
난류 유동을 해석하기 위해 k-ω SST모델을 적용 하였다. k-ω SST모델은 정확하고 안정적인 계산을 위하여 벽(wall)부근에서는 k-ω 모델을 이용하고, 원방 경계에서는 k-ε 모델을 사용하는 것이 특징이다. k는 난류를 정의하기 위한 난류운동에너지(turbulent kinetic energy)를 의미하며, ω 는 난류에 의한 비소산율(specific turbulent dissipation rate)을 나타낸다. 해당 난류 모델은 Kam과 Kim[9]에 의해 초음속 내부 유동에서 가장 적합하다고 알려져 있다.
먼저 배관 입출구에서의 질량유량을 통해 해석의 수렴성을 판단하였으며, 입구와 출구의 질량유량이 25.7 kg/s로 모두 동일하며, Fig. 3을 통해 해석이 수렴하였음을 알 수 있다. Fig. 4는 배관 내 압력장을 나타낸 것이며, 노즐 목 부근에서 충격파가 발생함을 확인할 수 있다. 일반적으로 충격파는 급격한 에너지 손실과 함께 충격파 전후로 급격한 압력 변화를 동반하며, 충격파 전후로 전압은 감소하지만, 정압은 증가하는 현상을 보인다. 이러한 정압의 변화는 Fig. 4를 통해 확인할 수 있다.
Fig. 5는 배관의 중심축을 따라 압력 변화를 나타낸 것이며, 해석의 정확성을 검증하기 위해 수치해석 결과를 이론해와 비교하였다. 이를 통해 본 연구의 해석 결과가 충격파의 위치를 정확히 모사하고 있으며, 충격파를 지나면서 발생하는 압력 회복도 잘 예측하는 것을 확인할 수 있다. 충격파 직후의 영역에서는 충격파 셀과 같은 현상이 발생하므로 이론해와는 달리 충격파 하류 방향에서 압력 섭동이 관측된다.
V. 비정상상태 LES 해석
배관 내 초음속 유동의 시간에 따른 비정상 해석을 수행하기 위하여 앞서 RANS 방정식을 이용하여 해석한 결과를 초기조건으로 하여 LES 해석을 수행하였다. LES는 지배방정식에 공간적인 평균화 조작을 행하고, 유동장을 격자보다 큰 난류 성분과 그 이하의 작은 성분으로 분리하여 전자는 직접 계산하고 후자는 모델링을 하는 해석방법이다. 격자가 충분하게 작은 것이라면 격자 이하의 난류 구조는 등방정이라고 간주할 수 있어 보편적인 모델을 구성하기 쉬운 특징을 갖고 있다. 또한 시간평균을 이용하는 RANS 방정식과는 달리 시간평균을 행하지 않기 때문에 시간 변동에 따른 비정상 유동을 풀기에 적합하다.
해석을 위해 고려한 형상은 앞서 정상 상태 해석에 적용된 모델과 동일하며, 격자수는 822만개를 사용하였고, 벽면에서 
을 만족할 수 있는 격자의 크기를 고려하였다. 경계 조건은 앞서와 동일하며, 출구에서의 반사파를 고려하여 무반사(Non-reflec-tion) 경계 조건을 적용하였다.
압축성 유동을 해석하기 위해 밀도 기반의 해석을 수행하였다. 난류 모델은 난류 점성을 모사하기 위해 LES 해석 시 많이 사용되는 Smagorinsky-Lilly 모델을 적용하였으며, 난류 점성은 다음과 같이 모델링한다.
, (14)
여기서 
는 유동의 응력텐서를 계산하기 위한 텐서변형률을 의미하며, 
는 격자보다 작은 크기의 난류 성분을 고려하기 위한 혼합거리이다.
비정상 LES 해석 결과는 Fig. 6에 나타낸 바와 같다. 일반적으로 충격파 전후로 정온도는 증가하며, 마하수는 감소하는 현상을 보이며, 이는 본 연구의 해석 결과에서도 동일하게 나타나는 것을 확인할 수 있다. 충격파의 하류 방향으로 많은 외란이 형성되고 있으며, 특히 벽면 부근에서의 외란은 배관을 가진시키는 비압축성 압력성분으로 작용한다.
VI. 파수-주파수 분석 결과
파수-주파수 분석을 위해 고려한 영역은 충격파의 영향을 고려하여 충격파로부터 가장 멀리 떨어진 지점의 1 m를 선정하였다. 해석 시간간격은 Nyquist frequency를 10,000 Hz로 고려하기 위하여 0.00005 s로 선정하였고, 파장을 고려하여 하류 방향으로의 격자 간격은 0.0038 m, 원주 방향의 격자 간격은 10°로 선정하였다.
앞서 3절에서 언급한 이론적 배경으로부터 파수-주파수 선도에서 각 모드별 특성을 이론적으로 예측할 수 있으며, Fig. 7에 겹쳐 나타내었다. 검은선은 원주방향 모드(m 모드)와 반경방향 모드(n 모드)에 따라 각각 m=2,4 / n= 0,1 모드에 대해서 cut-off 선을 의미하며, 평균 유속 성분이다. Fig. 7의 파수-주파수 선도에서 U0와 c0는 각각 평균 유속과 음속이며, 기울기는 속도를 의미한다. 비압축성 압력섭동은 평균 유속의 88 %의 속도로 전파되며, 압축성 압력 섭동은 비압축성 압력과 음속의 합인 c의 속도로 전파하는 것을 확인하였다. 그림에서 좌측 직선 기울기는 상류방향으로 전파되는 압축성 성분이므로 음속과 유속의 차로 전파되며, 우측 직선 기울기는 하류방향으로 전파되는 성분이므로 음속과 유속의 합으로 표현된다. 이를 통해 유동장 내 압축성 압력과 비압축성 압력을 명확히 분리할 수 있다.
VII. 결 론
본 연구에서는 고압 배관 내에서 감압밸브를 지나면서 발생하는 급격한 압력 변화에 의한 음향에너지를 고려하기 위하여 먼저 유동장을 해석하였으며, 그 결과로부터 파수-주파수 분석을 실시하였다.
고려한 배관의 조건은 배관 내에 충격파를 유발하므로 안정적인 해석을 수행하기 위하여 먼저 정상상태 RANS 해석을 수행하였고, 질량 유량과 이론해로부터 해석의 수렴성과 정확성을 검증하였다. 유동소음원인 유동장과 이로 인한 음장을 정확하게 예측하기 위하여 RANS 해석 결과를 초기값으로 하여 고정확도의 비정상 LES 해석을 수행하였다. 유동해석 결과로부터 파수-주파수 분석을 수행하였으며, 이를 통해 평균 유동장 속도의 약 88 %로 전파하는 비압축성 압력섭동 성분과 음속과 평균 유동장 속도를 더한 속도로 전파하는 압축성 성분을 분리할 수 있음을 보였다. 향후 추가 연구를 통하여 분리된 압축성 압력섭동 정보로부터 배관 내부 소음원의 강도를 예측할 수 있는 기법을 개발할 예정이다.
