I. 서  론

외부 방사 소음을 예측하기 위한 수치적 방법은 Fig 1과 같이 크게 복합 방법과 직접 방법으로 구분할 수 있다. 직접 방법은 고정확도, 고정밀의 해석을 수행하여 유동장과 음향장을 동시에 모사하는 방법으로, 유동 및 구조물을 고려한 소음 해석 결과를 바로 얻을 수 있다는 장점이 있으나 계산시간이 오래 걸린다는 단점이 있다. 반면 복합 방법은 유동장과 음향장을 분리하여 공력 소음을 예측하는 기법으로, 비교적 적은 수치 비용으로 소음을 효과적으로 예측할 수 있기에 공학적으로 널리 활용되고 있다.^[1-3] 일반적으로 많이 사용하는 복합 방법 중 하나는 Lighthill의 음향상사법에 기반한 FW-H(Ffowcs Williams and Hawkings) 방정식을 통해 소음원을 단극자 소음원(Monopole), 쌍극자 소음원(Dipole) 그리고 사중극자 소음원(Quadrupole)로 모델링하여 예측한다.^[4] 단극자 소음원의 경우 물체에 의한 유체의 체적변화에 기인하는 소음원이며, 쌍극자 소음원은 물체 표면에 작용하는 압력섭동에 의한 소음원으로 알려져있다. 사중극자 소음원은 제트(Jet) 유동이나 반류(Wake)와 같은 유동 내 난류 섭동에 의한 소음원이며, 일반적으로 마하 수가 매우 작을 경우 단극자와 쌍극자 소음원에 비해 기여도가 미미하기 때문에 무시할 수 있다고 알려져있다.^[5,6]

Fig. 1.

Schematic diagram for computational aeroacoustics.

사중극자에 의한 부피적분을 무시한 복합 방법은 유동 해석 결과를 기반으로 소음 적분면을 선정하여 소음을 예측하는 방법이며(Integral surface method), 소음 적분면의 선정에 따라 투과성 적분면(Permeable surface)와 비투과성 적분면(Impermeable surface)로 구분할 수 있다. 가장 고전적인 FW-H 방정식의 경우 비투과성 적분면을 선정하여 소음해석을 수행하며, 여기서 비투과성 적분면은 일반적으로 물체(Body) 표면을 의미한다.^[6] 그러나 비투과성 적분면을 선정할 경우 물체의 거동에 따라 매순간 적분면의 운동을 고려해야만 하므로 소음 예측 방법이 매우 복잡하다는 단점이 있다. Farassat과 Myers^[7]가 제안한 Kirchhoff 공식의 경우 소음이 선형적으로 전파된다는 가정 하에 유동장 내 가상의 닫힌 경계면을 설정하여 경계면에서의 유동장 정보들만을 가지고 외부 방사 소음을 예측할 수 있다. 이러한 물체 표면이 아닌 유동장 내 닫힌 경계면은 투과성 적분면 혹은 Kirchhoff 적분면이라 하며, Kirchhoff 공식을 적용하기 위해서는 소음이 선형적으로 전파된다고 가정할 수 있을만큼 실제 소음원으로부터 충분히 멀리 떨어진 영역에 경계면을 선정하여야 한다.^[8] Kirchhoff 적분면을 사용할 경우, 적분면에서의 계산만을 고려하면 되므로, 비투과성 적분면을 사용하는 고전적인 FW-H 방정식에 비해 계산이 매우 빠르다는 장점이 있으나, 소음원으로부터 충분히 멀리 적분면을 잡을 경우 수치적 감쇄로 인해 소음이 작게 예측될 수 있으며, 적분면의 크기가 커지므로 소음원을 예측 시 전산해석상 비용이 증가하는 단점이 있다. 이로 인해 최근에는 소음 전파를 모사하기 위해 유동의 연속방정식과 Navier-Stokes 방정식에서 시작하여 비점성, 비회전의 가정이 반영된 Kirchhoff 공식과는 달리 아무런 가정 없이 도출된 FW-H 방정식에 투과성 적분면을 접목시켜 소음을 예측하는 Permeable FW-H 방정식이 널리 사용되고 있으며,^[8] 본 연구에서도 동일한 방정식을 적용하였다.

일반적으로 적분면의 선정은 소음원을 충분히 포함할 수 있는 범위를 선정하여야 하지만, 수중 프로펠러와 같이 하류 방향으로 날개 끝 와류 공동(Tip vortex cavitation)이 강하게 발생하는 유동에서는 하류 방향으로 공동과 와류가 매우 길게 발달하므로 적분면을 적절히 선정하기 어려우며, 적분면이 커질수록 계산 비용이 증가하는 문제가 있다. 그러나 적분면을 작게 선정하면 적분면을 통해 공동 혹은 와류와 같은 소음원이 빠져나가면서 비물리적인 소음(Spurious noise)이 발생하며, 이러한 오차는 FW-H 방정식으로부터 사중극자 소음원을 생략함으로써 발생하는 오차로 알려져 있다^[5,9]. Wang et al.^[10]은 2차원 NACA0012 익형을 대상으로 저마하수(Low-Mach number)의 층류(Laminar) 유동에 대해 Curle의 적분식을 적용하여 소음을 예측하고, 경계면 보정식을 통해 적분면에서의 오차를 저감시킨 바 있다. Lockard와 Casper^[9]는 사중극자 보정항(Quadrupole correction term)을 FW-H 방정식에 추가함으로써 이러한 오차를 저감시키고자 하였으며, 주파수 영역에서 고정난류(frozen turbulence) 가정하에 사중극자 보정항을 유도하였다. Ikeda et al.^[11-13]은 NACA0012와 제트 유동에 대한 압축성 유동 해석결과를 기반으로 FW-H 방정식을 적용하여 소음예측을 수행하였으며, 시간 영역과 주파수 영역에 대해 각각 사중극자 보정식을 제시하였다. 특히 제트 유동에 대해 적분면의 위치에 따른 비물리적 소음의 영향도를 정량적으로 분석함으로써 사중극자 보정항의 유효성을 입증하였다.

본 연구에서는 공동에 의한 소음 예측 시 앞서 언급한 소음 적분면에서의 비물리적 소음을 저감시키고자 하였다. 이를 위해 먼저 CFD 해석을 수행하여 소음원을 유도하고, 소음원으로부터 수중 방사소음을 예측하는 복합 방법을 채택하였다. 소음원의 전파에 관한 지배방정식은 Lighthill의 음향상사법에 기반한 Permeable FW-H 방정식을 사용하였으며, 적분면으로부터 발생하는 비물리적인 소음을 저감시키기 위하여 시간영역에서의 사중극자 보정항을 추가하였다. 이를 통해 Clark-Y 수중익형을 대상으로 주요 소음원인 공동이 소음 적분면을 통과하면서 발생하는 비물리적 소음을 저감하고자 하였다.

II. 복합 CAA 방법

본 연구에서는 공학적으로 널리 쓰이고 있는 투과성 경계면을 이용한 소음 예측을 수행하였으며, Lighthill의 음향상사법에 기반한 FW-H 방정식을 적용하였다.

$$\begin{gathered} 4\pi p\text{'}\left(x,t\right)=\frac{\partial }{\partial t}{\int }_S\left[\frac{Q\left(y,\tau \right)}{r\left|1-M_r\right|}\right]dS\left(y\right) \\ -\frac{\partial }{\partial x_i}{\int }_s\left[\frac{F_i\left(y,\tau \right)}{r\left|1-M_r\right|}\right]dS\left(y\right) \\ +\frac{{\partial }^2}{\partial x_i{x}_j}{\int }_v\left[\frac{T_{ij}\left(y,\tau \right)}{r\left|1-M_r\right|}\right]dy, \end{gathered}$$      (1)

$$\begin{gathered} whereQ=\left[\rho \left(u_i\text{'}+U_i\right)-{\rho }_0{U}_i\right]{\hat{n}}_i \\ {F}_i=\left[\rho u_i\text{'}\left(u_j\text{'}+U_j\right)+p{\delta }_{ij}\right]{\hat{n}}_i \\ {T}_{ij}=\rho u_i\text{'}{u}_j\text{'}+\left[\left(p-p_0\right)-c_0^2\left(\rho -{\rho }_0\right)\right]{\delta }_{ij}, \end{gathered}$$

여기서 x, y는 각각 수음점(Observer point)과 소음원 위치(Source point)이며, τ = t – r /c₀ 는 지연시간(Retarded time), 상첨자 “ ' ”은 섭동성분을 의미한다.

첫번째항은 시간에 따른 체적변화에 기인한 단극자(Monopole) 소음원, 두 번째항은 물체 표면의 압력섭동에 의한 쌍극자(Dipole) 소음원을 의미한다. 마지막항은 난류 섭동에 의한 사중극자(Quadrupole) 소음원을 나타내며, 사중극자항에 의한 소음은 적분면 외부의 전체 영역에 대한 체적적분을 요구하기 때문에 계산비용이 매우 크다. 그러나 일반적으로 유동장 평균 속도(Mean flow velocity)의 마하수가 매우 작을 때, 단극자 소음원과 쌍극자 소음원에 비해 사중극자 소음원의 기여도가 매우 낮으므로, 무시할 수 있다고 알려져있다. 따라서 본 연구에서도 해당 항을 생략하고 FW-H 방정식을 모사하였으며, 단극자 소음원과 쌍극자 소음원은 Farassat 1A 공식에 의해 다음과 같이 나타낼 수 있다^[4,14].

$$\begin{gathered} 4\pi p_T\text{'}\left(x,t\right)= \\ {\int }_{f=0}{\left[\frac{{\rho }_0\left({\dot{U}}_n+U_n\right)}{r{\left(1-M_r\right)}^2}\right]}_{ret}dS \\ +{\int }_{f=0}{\left[\frac{{\rho }_0{U}_n\left(r{\dot{M}}_r+c\left(M_r-M^2\right)\right)}{r^2{\left(1-M_r\right)}^3}\right]}_{ret}dS, \end{gathered}$$      (2)

$where{U}_j=\left(1-\frac{\rho }{{\rho }_0}\right)v_j+\frac{\rho u_j}{{\rho }_0},$

$$\begin{gathered} 4\pi p_L\text{'}\left(x,t\right)= \\ \frac{1}{c_0}{\int }_{f=0}{\left[\frac{{\dot{L}}_r}{r{\left(1-M_r\right)}^2}\right]}_{ret}dS \\ +{\int }_{f=0}{\left[\frac{L_r-L_M}{r^2{\left(1-M_r\right)}^2}\right]}_{ret}dS \\ +\frac{1}{c_0}{\int }_{f=0}{\left[\frac{L_r\left(r{\dot{M}}_r+c_0\left(M_r-M^2\right)\right)}{r^2{\left(1-M_r\right)}^3}\right]}_{ret}dS, \end{gathered}$$      (3)

$where{L}_i=P_{ij}{\hat{n}}_j+\rho u_i\left(u_n-v_n\right),$

$p\text{'}\left(x,t\right)=p{\text{'}}_T\left(x,t\right)+p{\text{'}}_L\left(x,t\right),$      (4)

$p\text{'}\left(x,t\right)=p{\text{'}}_T\left(x,t\right)+p{\text{'}}_L\left(x,t\right)+p{\text{'}}_Q\left(x,t\right),$

여기서 p'_T와 p'_L는 FW-H 방정식으로부터 얻어지며, 각각 단극자 소음원, 쌍극자 소음원에 의한 압력성분이다. c₀는 음속이며, r은 수음점과 소음원 위치간의 거리, 하첨자 ret는 지연시간에 대한 적분을 의미한다.

III. 투과성 적분면 보정

공학적으로 널리 쓰이고 있는 FW-H 방정식은 소음 예측을 위해 투과성 적분면을 필요로 하며, 적분면을 통해 소음원이 빠져나갈 경우 적분면을 통한 소음 예측 결과로부터 비물리적인 소음이 반영된다. 이는 FW-H 방정식의 사중극자 소음원을 생략함으로써 발생하는 오차로써 적분면을 충분히 크게 하여 모든 소음원을 포함할 경우 이러한 현상을 방지할 수 있으나, 적분면이 커지는만큼 전산해석의 비용이 증가하는 문제가 있다.

Ikeda et al.은 FW-H 방정식에서 일반적으로 생략되는 사중극자 소음원의 영향을 근사적으로 반영하기 위하여 다음과 같은 사중극자 보정항을 제안하였다.^[12]

$$\begin{gathered} p{\text{'}}_Q\left(x,t\right)\approx \\ \frac{1}{4\pi c_o^2}{\int }_s{\left[\frac{1}{\left|1-M_r^d\right|}\frac{{\dot{T}}_{ij}{\hat{r}}_i{\hat{r}}_j}{r{\left|1-M_r\right|}^2}\right]}_{ret}\left(U_c·\hat{n}\right)dS, \end{gathered}$$      (5)

$$\begin{gathered} where{M}_r^d=\left(U_d·\hat{r}\right)/c_o, \\ {U}^d=U_c-U_{\infty }, \\ {U}_c=Eddyconvectivevelocity \end{gathered}$$      (6)

여기서 p'_Q는 사중극자 보정항이며, U_c는 국부적인 난류 에디의 전파속도를 의미하며, 시간에 대한 전체 유동장의 속도 평균값으로써 계산된다. 사중극자 보정항은 Eq. (6)과 같이 FW-H 방정식으로부터 얻어진 단극자 소음원과 쌍극자 소음원에 의한 압력 결과에 추가항으로 고려함으로써 보정 효과를 반영할 수 있다.

IV. 해석 결과

본 연구에서는 FW-H 방정식에 의한 비물리적인 소음을 저감시키기 위하여 사중극자 보정항을 추가하였으며, 이러한 효과를 확인하기 위하여 Table 1과 같이 3가지 해석 조건을 고려하였다.

Table 1. Target geometry and conditions.

Configuration	Type and grid	Sepcifications
	3D Unsteady	- Validation of Permeable
	3D Inviscid Isentropic	- Confirmaion of quadrupole correcion effect using no
	3D Unsteady	- Confirmation of quadrupole correction effect on

해석 절차는 우선 Case 1과 같이 축류팬을 대상으로 사중극자 보정항이 없는 기존의 FW-H 방정식 소음 예측 코드의 정확성을 검증하고자 하였으며, Case 2를 통해 사중극자 유무에 따른 FW-H 방정식의 오차 저감 효과를 확인한다. 마지막으로 사중극자를 포함한 FW-H 방정식에 의한 소음 예측 결과를 공동 현상이 발생하는 수중익형을 대상으로 적용함으로써, 주요 소음원인 공동이 적분면을 통과하면서 발생하는 오차가 저감되는 것을 확인하고자 하였다.

먼저 소음 예측 코드의 정확성을 검증하기 위하여 축류팬(Axial fan)^[15]을 대상으로 사중극자 보정항을 고려하지 않은 기존의 FW-H 방정식을 적용하였으며, ANASYS Fluent 18의 소음 예측 결과와 비교하였다.

해석에 적용된 전체 해석 영역과 소음 예측을 위한 소음원 영역(Source region)은 각각 Figs. 2와 3과 같다.

Fig. 2.

Simulation domain and boundary conditions.

Fig. 3.

Source region on axial fan.

소음원 모사를 위한 해석 조건으로는 3차원 비정상 비압축성 URANS(Unsteady Reynolds Averaged Navier-Stokes) 방정식에 RNG k-ε 난류 모델을 적용하였으며, 회전 수가 1000 rpm인 점을 감안하여 시간 간격은 1.667 × 10^-4 s로 하여 1°씩 회전하도록 선정하였다. 소음 예측을 위해 선정한 수음점의 위치는 팬이 회전하는 축 방향(x 방향)으로 2곳, 회전축과 수직한 방향(y 방향)으로 2곳을 선정하였으며, Fig. 4와 같다.

Fig. 4.

Observer points.

Fig. 5는 각 수음점에서의 음압(Sound Pressure Level, SPL) 예측 결과를 ANSYS Fluent의 결과와 비교한 것이며, 잘 일치하는 것을 확인할 수 있다. 따라서 본 연구에서 사용한 FW-H 방정식이 잘 적용되었음을 확인할 수 있다.

Fig. 5.

Sound pressure level at each observer point.

사중극자 보정항의 효과를 확인하기 위하여 등엔트로피 와류 전파를 고려하였다.^[12,16] 해당 문제는 고정된 와류 구조(Frozen turbulence)가 일정한 속도로 흐르는 주위 유동장의 속도와 동일한 속도로 전파되는 문제이므로 물리적으로 소음이 발생하지 않는 문제에 해당한다. 등엔트로피 와류 전파 문제는 전산해석 코드 검증을 위해 널리 활용되고 있으며, 이론해가 있는 문제이다. 따라서 본 연구에서는 이론해를 이용하여 유동장을 모사하였으며, Fig. 6과 같이 전체 유동장 영역과 소음원 영역을 선정하였다.

Fig. 6.

Simulation domain and source region.

소음 예측을 위해 선정한 수음점의 위치는 격자 간격 Δx = 0.125의 10배를 1D라 했을 때, 상류 방향(-x 방향)으로 100D만큼 떨어진 위치로 선정하였으며, 예측 결과는 Fig. 7과 같다.

Fig. 7에서 FW-H 방정식의 결과로부터 비물리적인 소음이 발생하는 위치에서는 와류 구조가 적분면을 통과하고 있음을 확인할 수 있다. 이러한 오차는 사중극자 보정항을 적용할 경우 상당 부분 저감되는 것을 확인할 수 있으며, 이를 통해 사중극자 보정항의 효과를 확인하였다.

Fig. 7.

Non dimensional acoustic pressure of isentropic vortex convection.

앞서 개발한 사중극자 보정항을 추가한 FW-H 방정식 소음 예측 코드를 이용하여 수중 익형 공동 유동장에서 발생하는 소음을 예측하였다. 먼저 소음원을 모사하기 위한 유동해석 영역 및 경계 조건은 Fig. 8과 같다. 해당 형상은 Clark-Y 수중익형이며, 스팬(Span) 방향으로 1c의 길이를 가지는 3차원 형상이다. 유동장을 모사하기 위해 3차원 비압축성 RANS 방정식을 사용하였으며, 공동 유동장을 모사하기 위해 균일혼상류 모델(Homogeneous mixture model)을 적용하였고, 해석의 정확성은 이전 연구에서 검증한 바 있다.^[17] 또한 Kim et al.^[2]은 수중익형을 대상으로 균일혼상류 모델을 적용하여 공동 현상을 정확히 모사한 바 있으며, 공동에 의한 소음의 영향성을 검토한 바 있다.^[2]

유동해석 결과는 Fig. 9와 같으며, Clark-Y 수중익형 하류 방향으로 공동이 발생하는 것을 확인할 수 있다.

Fig. 8.

Simulation domain and boundary conditions.

Fig. 9.

Mixture density and static pressure contours of RANS and source region.

소음원 영역은 Fig. 9에 나타낸 바와 같으며, 사중극자 보정항의 효과를 확인하기 위하여 주요 소음원인 공동이 통과하는 영역(Near)과 통과하지 않고 모두 포함하는 영역(Far), 그리고 가운데 영역(Mid)으로 선정하였다. 수음점의 위치는 수중익형 앞전을 기준으로 상류방향으로 -100 m의 위치로 선정하였다. 각 영역별로 소음 예측 결과는 Fig. 10과 같다.

Fig. 10에서 초록색 그래프는 사중극자항의 기여도를 나타낸다. 소음원 적분영역이 주요 소음원에 해당하는 공동으로부터 멀리 떨어진 Far 영역의 경우, 적분면을 통해 공동이 통과하지 않고 적분면이 소음원을 충분히 포함하고 있으므로, 사중극자의 기여도가 낮은 것을 확인할 수 있다. Mid 영역의 경우 공동이 적분면에 가까이 근접하기는 하나 적분 영역을 통과하지는 않으므로, 상대적으로 Far 영역에 비해 기여도가 크기는 하나 전체적인 소음 예측 시에는 그 기여도가 낮다. 반면 공동이 적분 영역을 통과하는 Near 영역의 경우 적분면에서 오차가 발생하므로, 사중극자에 의한 기여도가 크게 발생하는 것을 확인할 수 있으며, 사중극자가 없는 FW-H 방정식의 소음예측 결과가 보정되는 것을 확인할 수 있다.

Fig. 10.

Sound pressure level on each noise region using cavitation flow field.

따라서 공동이 하류 방향으로 매우 길게 발생하는 수중 프로펠러와 같은 경우 소음원을 충분히 포함할만큼 소음원 영역을 선정하기 어려우므로 본 연구에서 제시한 방법을 통해 적분면에서 발생하는 오차를 보정함으로써 소음원 영역을 작게 선정하더라도 충분히 만족할만한 결과를 얻을 수 있으리라 기대한다.

V. 결 론

본 연구에서는 공동 유동장을 대상으로 공동이 소음 적분면을 통과하면서 발생하는 비물리적인 소음을 저감시키고자 하였다. 이를 위해 먼저 축류팬을 대상으로 본 연구자가 개발한 FW-H 방정식 코드 검증을 수행하였으며, ANSYS Fluent에 의한 소음 예측결과와 잘 일치하는 것을 확인하였다. 사중극자 보정항의 효과를 확인하기 위하여 등엔트로피 와류 전파 문제를 이용하였으며, 유동장은 이론해를 기반으로 도출하였고, 소음 예측 결과 소음원이 적분면을 통과하면서 발생하는 오차가 상당 부분 저감되는 것을 확인하였다. 마지막으로 앞서 개발한 소음 예측 코드를 이용하여 Clark-Y 수중익형에서 발생하는 공동 유동장에 적용하였으며, 주요 소음원인 공동이 적분면을 통과할 때 발생하는 오차가 사중극자 보정항에 의해 저감되는 것을 확인하였다.