Vibration characteristics analysis of barrel type cylindrical shells

Moojoon Kim; Jungsoon Kim

doi:10.7776/ASK.2026.45.2.175

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Research Article

The Journal of the Acoustical Society of Korea. 31 March 2026. 175-185
https://doi.org/10.7776/ASK.2026.45.2.175

Vibration characteristics analysis of barrel type cylindrical shells

베럴형 원통쉘의 진동특성 해석

Moojoon Kim¹

Jungsoon Kim²^*

김 무준¹

김 정순²^*

¹부경대학교 물리학과

²동명대학교 전기제어학부

^{*Corresponding Author}

License (open-access, http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/):

This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

ABSTRACT

This paper presents an analytical study on the axisymmetric vibration characteristics of barrel-type cylindrical shells. Assuming that the shell thickness is sufficiently small compared to its length, the torsional motion is neglected and two displacement components - normal displacement along the meridional curvature and tangential displacement along the meridian - are considered. The coupled governing equations are derived from the Lagrangian formulation and expressed as a set of ordinary differential equations. A power series expansion with respect to the angular coordinate is introduced to obtain general solutions, which are classified according to the parity of the displacement functions. Resonance conditions are derived in determinant form for clamped-clamped and simply supported boundary conditions. Natural frequencies and corresponding mode shapes are calculated, and the validity of the proposed analytical method is verified through comparison with finite element analysis. The results show good agreement overall. Furthermore, the effects of the surface curvature radius on resonance frequencies are investigated, revealing that the natural frequencies increase as the curvature radius increases for all vibration modes.

Keywords

Barrel type

Cylindrical shell

Vibration characteristic

Boundary condition

Resonant frequency

본 논문에서는 베럴형 원통쉘의 축대칭 진동 특성을 해석적으로 규명하였다. 쉘의 두께가 길이에 비해 충분히 얇다는 가정하에, 접선 방향 변위와 그에 수직한 법선 방향 변위를 고려하여 라그랑지안으로부터 연립 상미분방정식을 유도하였다. 도출된 방정식은 각도에 대한 멱급수 해법을 적용하여 해석적으로 전개하였으며, 변위 함수의 기·우함수 특성에 따라 두 가지 경우로 구분하여 일반해를 구성하였다. 양단 고정 및 단순지지 경계조건에 대해 공진 조건식을 행렬식 형태로 유도하고, 이를 통해 고유진동수와 모드 형상을 계산하였다. 제안된 해석 방법의 타당성을 검증하기 위하여 유한요소해석 결과와 비교하였으며, 두 결과가 전반적으로 잘 일치함을 확인하였다. 또한 곡률반경 변화에 따른 공진주파수의 변화를 분석하여, 곡률반경 증가에 따라 모든 모드의 공진주파수가 증가함을 확인하였다.

키워드

베럴형

원통쉘

진동특성

경계조건

공진주파수

MAIN

I. 서 론
II. 베럴형 원통쉘의 진동 해석
2.1 운동방정식의 도출
2.2 급수해에 의한 해법
2.3 각 경계조건에 대한 공진조건 도출
III. 결과 및 분석
IV. 결 론

I. 서 론

곡면 쉘 구조는 항공우주, 해양 구조물, 압력용기, 정밀 기계 및 음향 트랜스듀서 등 다양한 공학 분야에서 널리 활용되고 있다. 특히 곡률을 갖는 얇은 쉘 구조는 높은 강성 대 질량비와 우수한 진동 특성을 동시에 만족시킬 수 있어 동적 구조 설계에서 중요한 역할을 한다. 이 중 베럴형 원통 쉘은 단순 원통 구조와 달리 축 방향으로 곡률이 변화하는 형상을 가지며, 이러한 기하학적 특성으로 인해 진동 모드 및 공진 특성이 크게 달라진다.^[1,2,3] 따라서 해당 구조의 정확한 진동 해석은 구조적 신뢰성 확보뿐 아니라 음향 방사 특성 및 공진 기반 장치 설계에서도 매우 중요하다. 일반적인 원통 쉘의 진동 해석에 대해서는 고전 쉘 이론에 기반한 다양한 해석적 연구가 축적되어 있다.^[4,5,6,7] 그러나 베럴형과 같이 곡률이 일정하지 않거나 축대칭 곡면 형상을 갖는 구조의 경우, 기하학적 비선형성 및 곡률 효과로 인해 지배 방정식이 복잡해지며 해석적 접근이 쉽지 않다.^[8,9,10] 이로 인해 실제 설계에서는 유한요소법(Finite Element Method, FEM)과 같은 수치해석 기법이 주로 사용되고 있다.^{[11,12,13,14,15,16,17]} 유한요소해석은 복잡한 형상과 경계조건을 효과적으로 반영할 수 있다는 장점이 있으나, 계산 비용이 크고 설계 변수 변화에 따른 물리적 인과관계를 직관적으로 파악하기 어렵다는 한계가 있다. 특히 고주파 영역에서는 메시 분해능에 따라 해석 오차가 증가할 수 있으며, 설계 초기 단계에서 반복적인 계산이 요구되는 경우 효율성이 떨어질 수 있다. 따라서 베럴형 원통 쉘의 진동 특성을 해석적으로 규명할 수 있는 체계적인 방법론의 정립은 매우 의미 있는 연구과제라 할 수 있다. 해석적 접근은 지배방정식과 경계조건 사이의 명확한 관계를 제시할 수 있으며, 구조 변수(두께, 곡률반경, 길이, 재료상수 등)가 공진 특성에 미치는 영향을 이론적으로 해석할 수 있는 장점이 있다.

본 연구에서는 얇은 쉘 가정을 기반으로 한 베럴형 원통 쉘의 축대칭 진동 문제를 해석적 접근법을 통해 정식화하였다. 쉘의 비틀림 진동을 무시하고, 경도선 방향의 변위와 이에 수직한 접선 방향 변위만을 고려하여 라그랑지안으로부터 연립 상미분 형태의 지배방정식을 유도하였다. 도출된 지배방정식에 대하여 변위 함수의 기·우함수 특성을 고려한 시험해를 각도에 대한 멱급수 형태로 각각 가정하였다. 양단 고정 및 단순지지 경계조건에 대해 쉘의 고유진동수를 구하고 공진 모드에 대한 변위분포를 도출하였다. 제안된 해석적 방법의 타당성을 검증하기 위하여 유한요소해석 결과와 비교를 수행하였다. 또한 쉘의 표면 곡률반경 변화에 따른 공진주파수의 변화를 체계적으로 분석하여, 구조 형상 파라미터가 동적 특성에 미치는 영향을 정량적으로 평가하였다.

II. 베럴형 원통쉘의 진동 해석

2.1 운동방정식의 도출

Fig. 1은 베럴형 원통쉘의 진동해석모델을 기하학적 좌표계로 나타낸 것이다.

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Fig. 1.

Geometry and coordinate system of the barrel type cylindrical shell. The meridional curvature radius $R_{c}$ , angular coordinate 𝜃, shell length $L$ , and thickness $h$ are defined.

베럴의 길이 L에 비해 쉘의 두께 h가 얇다고 가정하였고, 쉘의 비틀림 진동은 무시하였다. 축대칭 구조이므로 위도선에 대한 접선방향의 변위는 상쇄된다. 따라서 진동 변위는 경도선의 곡률반경 $R_{c}$ 방향의 변위 $W (θ)$ 와 이와 수직인 경도선에 대한 접선 방향의 변위 $U (θ)$ 만을 고려한다. 𝜅는 𝜃=0에 있어서의 위도선의 곡률반경과 경도선의 곡률반경과의 비를 나타낸다. Fig. 1에 나타낸 쉘의 축대칭 진동에 대한 1주기 라그랑지안 $L$ 은 다음과 같이 주어진다.^[4,5]

(1)

L = - \frac{R_{c}^{2}}{π D} \int_{- θ_{b}}^{θ_{b}} (L_{1} + L_{2} + L_{3} + L_{4}) \frac{\cos θ}{Φ} d θ,

여기서

$L_{1} = - α^{4} (U (θ)^{2} + W (θ)^{2})$ ,

$L_{2} = β \{\begin{array}{l} {(\frac{d U (θ)}{d θ} - W (θ) - Φ (U (θ) \tan θ + W (θ)))}^{2} \\ + 2 ξ Φ (\frac{d U (θ)}{d θ} - W (θ)) (U (θ) \tan θ + W (θ)) \end{array}\}$ ,

$L_{3} = {\{\frac{d^{2} W (θ)}{d θ^{2}} + \frac{d U (θ)}{d θ} - Φ \tan θ (\frac{d W (θ)}{d θ} + U (θ))\}}^{2}$ ,

$L_{4} = 2 ξ Φ \tan θ (\frac{d^{2} W (θ)}{d θ^{2}} + \frac{d U (θ)}{d θ}) (\frac{d W (θ)}{d θ} + U (θ))$ ,

$β = \frac{12 R_{c}^{2}}{h^{2}}, D = \frac{Y_{E} h^{3}}{12 (1 - ν^{2})}, Φ = \frac{\cos θ}{\cos θ + κ - 1}$ ,

$α^{4} = \frac{ρ h ω^{2} R_{c}^{4}}{D}$ , 이고 $Y_{E}$ 는 종탄성계수, 𝜈는 포아송 비, 𝜌는 밀도, 𝜔는 각진동수이다. 운동방정식을 구하기 위하여 Eq. (1)의 변분을 구하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

(2)

- \frac{δ L}{(\frac{2 π D}{R_{c}^{2}})} = \int_{- θ_{b}}^{θ_{b}} [E_{1} δ U (θ) + E_{2} δ W (θ)] \frac{\cos θ}{Φ} d θ + {[T_{1} δ U (θ) + T_{2} δ W (θ) + M_{1} δ (\frac{d W (θ)}{d θ})]}_{- θ_{b}}^{θ_{b}},

여기서

$E_{1} = - \frac{d^{3} W (θ)}{d θ^{3}} + T_{W 2} \frac{d^{2} W (θ)}{d θ^{2}} + T_{W 1} \frac{d W (θ)}{d θ} + T_{W 0} W (θ) - T_{U 2} \frac{d^{2} U (θ)}{d θ^{2}} + T_{U 1} \frac{d U (θ)}{d θ} + T_{U 0} U (θ)$ ,

$E_{2} = \frac{d^{4} W (θ)}{d θ^{4}} - S_{W 3} \frac{d^{3} W (θ)}{d θ^{3}} + S_{W 2} \frac{d^{2} W (θ)}{d θ^{2}} + S_{W 1} \frac{d W (θ)}{d θ} + S_{W 0} W (θ) + \frac{d^{3} U (θ)}{d θ^{3}} - S_{U 2} \frac{d^{2} U (θ)}{d θ^{2}} + S_{U 1} \frac{d U (θ)}{d θ} + S_{U 0} U (θ)$ ,

$T_{1} = [\frac{d^{2} W (θ)}{d θ^{2}} - ν T_{w 2} \frac{d W (θ)}{d θ} - β (ν Φ + 1) W (θ) + (β + 1) \frac{d U (θ)}{d θ} - ν (β + 1) T_{w 2} U (θ)] \frac{\cos θ}{Φ}$ ,

$T_{2} = [- \frac{d^{3} W (θ)}{d θ^{3}} + T_{w 2} \frac{d^{2} W (θ)}{d θ^{2}} + \{(1 - ν) T_{w 2}^{2} + ν \frac{d T_{w 2}}{d θ}\} \frac{d W (θ)}{d θ} - \frac{d^{2} U (θ)}{d θ^{2}} + T_{w 2} \frac{d U (θ)}{d θ} + \{(1 - ν) T_{w 2}^{2} + ν \frac{d T_{w 2}}{d θ}\} U (θ)] \frac{\cos θ}{Φ}$ ,

$M_{1} = [\frac{d^{2} W (θ)}{d θ^{2}} + \frac{d^{2} U (θ)}{d θ^{2}} - ν Φ \tan θ (\frac{d W (θ)}{d θ} + U (θ))] \frac{\cos θ}{Φ}$ ,

$T_{W 2} = Φ \tan θ, T_{W 0} = β \frac{d Φ}{d θ}$ ,

$T_{W 1} = β + (Φ \tan θ)^{2} + ν (β + 1) Φ$ ,

$T_{U 2} = β + 1, T_{U 1} = (β + 1) Φ \tan θ$ ,

$T_{U 0} = (β + 1) ν Φ + (Φ \tan θ)^{2} - α^{4}$ ,

$S_{W 3} = 2 Φ \tan θ, S_{W 2} = - (ν + 1) Φ - (Φ \tan θ)^{2}$ ,

$S_{W 1} = \{ν - 2 Φ - (Φ \tan θ)^{2}\} Φ \tan θ$ ,

$S_{W 0} = - α^{4} + β (1 + 2 ν Φ + Φ^{2}), S_{U 2} = 2 Φ \tan θ$ ,

$S_{U 1} = - (ν + 1) Φ - (Φ \tan θ)^{2} + β (ν Φ - 1)$ ,

$S_{U 0} = \{(β + 1) ν + (β - 2) Φ - (Φ \tan θ)^{2}\} Φ \tan θ$ ,

이다. 헤밀턴의 원리 $δ L$ =0로부터, 경계조건에 의해 0이 되는 두 번째 항과는 별도로, 첫 번째 항은 임의의 $δ W$ 및 $δ U$ 에 대하여 항상 성립해야 하므로 $E_{1}$ =0, $E_{2}$ =0으로 두면 운동방정식이 된다.

2.2 급수해에 의한 해법

운동방정식을 풀기 위하여 다음과 같은 형태의 𝜃에 관한 급수를 도입하였다.

(3)

\cos θ = \sum_{m = 0}^{\infty} A_{m}^{(1)} θ^{2 m}, Φ = \sum_{m = 0}^{\infty} A_{m}^{(2)} θ^{2 m}, Φ^{2} = \sum_{m = 0}^{\infty} A_{m}^{(4)} θ^{2 m}, \sin θ = \sum_{m = 0}^{\infty} B_{m}^{(1)} θ^{2 m + 1}, Φ \tan θ = \sum_{m = 0}^{\infty} B_{m}^{(2)} θ^{2 m + 1}, Φ^{2} \tan θ = \sum_{m = 0}^{\infty} B_{m}^{(3)} θ^{2 m + 1}, Φ^{3} \frac{\tan θ}{\cos^{2} θ} = \sum_{m = 0}^{\infty} B_{m}^{(4)} θ^{2 m + 1}, Φ^{3} \tan^{2} θ = \sum_{m = 0}^{\infty} C_{m}^{(1)} θ^{2 m + 2}, Φ^{3} \tan^{3} θ = \sum_{m = 0}^{\infty} D_{m}^{(1)} θ^{2 m + 3},

여기서

$A_{0}^{(1)} = B_{0}^{(1)} = 1, A_{m}^{(1)} = \frac{(- 1)^{m}}{(2 m)!}, B_{m}^{(1)} = \frac{(- 1)^{m}}{(2 m + 1)!}$ ,

$A_{0}^{(2)} = \frac{A_{0}^{(1)}}{K}, B_{0}^{(2)} = \frac{B_{0}^{(1)}}{K}, A_{0}^{(3)} = \frac{1}{K}$ ,

$K = A_{0}^{(1)} + κ - 1$ ,

$A_{m}^{(2)} = \frac{\{A_{m}^{(1)} - \sum_{p = 1}^{m} A_{m - p}^{(2)} A_{p}^{(1)}\}}{K}$ ,

$B_{m}^{(2)} = \frac{\{B_{m}^{(1)} - \sum_{p = 1}^{m} B_{m - p}^{(2)} A_{p}^{(1)}\}}{K}$ ,

$C_{m}^{(1)} = \sum_{p = 0}^{m} B_{m - p}^{(2)} B_{p}^{(2)}, B_{m}^{(3)} = \sum_{p = 0}^{m} B_{m - p}^{(2)} A_{p}^{(2)}$ ,

$A_{m}^{(7)} = A_{m}^{(4)} = \sum_{p = 0}^{m} A_{m - p}^{(2)} A_{p}^{(2)}, D_{m}^{(1)} = \sum_{p = 0}^{m} C_{m - p}^{(1)} B_{p}^{(2)}$ ,

$B_{m}^{(5)} = B_{m}^{(3)}, A_{m}^{(7)} = A_{m}^{(4)}$ .

운동방정식의 해는 변위 함수의 기·우함수 특성을 고려하면 다음과 같은 두 가지의 경우로 나누어 생각할 수 있다.

I) $U (θ)$ : 기함수, $W (θ)$ : 우함수인 경우

(4)

U (θ) = \sum_{m = 0}^{\infty} Γ_{m} θ^{2 m + 1}, W (θ) = \sum_{m = 0}^{\infty} Λ_{m} θ^{2 m} .

II) $U (θ)$ : 우함수, $W (θ)$ : 기함수인 경우

(5)

U (θ) = \sum_{m = 0}^{\infty} Γ_{m} θ^{2 m}, W (θ) = \sum_{m = 0}^{\infty} Λ_{m} θ^{2 m + 1} .

먼저 I의 경우, 해를 구하기 위하여 Eq. (4)를 운동방정식에 대입하면 다음과 같이 된다.

(6)

\sum_{m = 2}^{\infty} \{(β + 1) (2 m - 1) (2 m - 2) Γ_{m - 1} + (2 m) (2 m - 1) (2 m - 2) Λ_{m} + Ω_{1 m}\} θ^{2 m - 3} = 0, \sum_{m = 2}^{\infty} \{(2 m - 1) (2 m - 2) (2 m - 3) Γ_{m - 1} + Ω_{2 m} + (2 m) (2 m - 1) (2 m - 2) (2 m - 3) Λ_{m}\} θ^{2 m - 4} = 0,

여기서

(7)

Ω_{1 m} = \sum_{p = 0}^{m - 1} [- \{B_{m - 1 - p}^{(2)} (2 p - 1) + ν (β + 1) A_{m - 1 - p}^{(2)}\} 2 p Λ_{p}] - 2 β (m - 1 - p) A_{m - 1 - p}^{(2)} Λ_{p}], - \sum_{p = 0}^{m - 2} [(β + 1) \{B_{m - 2 - p}^{(2)} (2 p + 1) + ν A_{m - 2 - p}^{(2)}\} Γ_{p}] + 2 p C_{m - 2 - p}^{(1)} Λ_{p}] - (β + 1) \sum_{p = 0}^{m - 3} C_{m - 3 - p}^{(1)} Γ_{p} - 2 β (m - 1) Λ_{m - 1} + α^{4} Γ_{m - 2} Ω_{2 m} = - \sum_{p = 0}^{m - 1} [\{(1 + ν) A_{m - 1 - p}^{(2)} + 4 (p - 1) B_{m - 1 - p}^{(2)}\} (2 p) (2 p - 1) Λ_{p}] + \sum_{p = 0}^{m - 2} [\begin{array}{l} \{2 p ν B_{m - 2 - p}^{(2)} - 2 p (2 p - 1) C_{m - 2 - p}^{(1)} - 4 p B_{m - 2 - p}^{(3)} + 2 ν β A_{m - 2 - p}^{(2)} + β A_{m - 2 - p}^{(4)}\} \\ - \{(1 + ν + β ν) A_{m - 2 - p}^{(2)} + 4 p B_{m - 2 - p}^{(2)}\} (2 p + 1) Γ_{p} \end{array}] + \sum_{p = 0}^{m - 3} [(β + 1) ν B_{m - 3 - p}^{(2)} + (β - 2) B_{m - 3 - p}^{(3)} - C_{m - 3 - p}^{(1)} (2 p + 1) - 2 p D_{m - 3 - p}^{(1)} Λ_{p}] - \sum_{p = 0}^{m - 4} D_{m - 4 - p}^{(1)} Γ_{p} - β (2 m - 3) Γ_{m - 2} + (β - α^{4}) Λ_{m - 2} .

단, $\sum_{i}^{j} = 0 (i > j), Γ_{i} = Λ_{i} = 0 (i < 0)$ 이다.

Eq. (6)으로부터 $Γ_{m - 1}$ 과 $Λ_{m}$ 는 다음과 같이 축차적으로 구해진다.

(8)

Γ_{m - 1} = \frac{Ω_{2 m} - (2 m - 3) Ω_{1 m}}{β (2 m - 1) (2 m - 2) (2 m - 3)}, Λ_{m} = \frac{(2 m - 3) Ω_{1 m} - (β + 1) Ω_{2 m}}{β (2 m) (2 m - 1) (2 m - 2) (2 m - 3)} \cdot (m \geq 2)

Eq. (8)을 적용하면 Eq. (4)은 다음과 같이 미정계수 $Γ_{0}$ , $Λ_{0}$ , 및 $Λ_{1}$ 가 포함된 𝜃의 급수로 나타낼 수 있다.

(9)

U (θ) = Γ_{0} θ + Γ_{1} θ^{3} + Γ_{2} θ^{5} + \dots = Γ_{0} θ + \{Ω_{1 m} (Γ_{0}, Λ_{0}, Λ_{1}), Ω_{2 m} (Γ_{0}, Λ_{0}, Λ_{1})\} θ^{3} + \{Ω_{1 m} (Γ_{0}, Λ_{0}, Λ_{1}), Ω_{2 m} (Γ_{0}, Λ_{0}, Λ_{1})\} θ^{5} + \dots, W (θ) = Λ_{0} + Λ_{1} θ^{2} + Λ_{2} θ^{4} + \dots = Λ_{0} + Λ_{1} θ^{2} + \{Ω_{1 m} (Γ_{0}, Λ_{0}, Λ_{1}), Ω_{2 m} (Γ_{0}, Λ_{0}, Λ_{1})\} θ^{4} + \dots .

Eq. (9)를 계수 $Γ_{0}$ , $Λ_{0}$ , $Λ_{1}$ 로 정리하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

(10)

U (θ) = Γ_{0} U_{1} + Λ_{0} U_{2} + Λ_{1} U_{3}, W (θ) = Γ_{0} W_{1} + Λ_{0} W_{2} + Λ_{1} W_{3} .

다음으로 II의 경우에 대한 해를 구하기 위하여 Eq. (5)를 운동방정식에 대입하면 다음과 같이 된다.

(11)

\sum_{m = 1}^{\infty} \{(β + 1) (2 m) (2 m - 1) Γ_{m} + (2 m + 1) (2 m) (2 m - 1) Λ_{m} + Ω_{1 m}\} θ^{2 m - 2} = 0, \sum_{m = 2}^{\infty} \{(2 m) (2 m - 1) (2 m - 2) Γ_{m} + (2 m + 1) (2 m) (2 m - 1) (2 m - 2) Λ_{m} + Ω_{2 m}\} θ^{2 m - 3} = 0,

여기서

(12)

Ω_{1 m} = - \sum_{p = 0}^{m - 1} [\begin{array}{l} (β + 1) \{B_{m - 1 - p}^{(2)} (2 p) + ν A_{m - 1 - p}^{(2)}\} Γ_{p} \\ + [\begin{array}{l} \{B_{m - 1 - p}^{(2)} (2 p) + ν (β + 1) A_{m - 1 - p}^{(2)} \end{array}\} (2 p + 1) + 2 β (m - 1 - p) A_{m - 1 - p}^{(2)}] Λ_{p} \end{array}] - \sum_{p = 0}^{m - 2} [(β + 1) C_{m - 2 - p}^{(1)} Γ_{p} + \{C_{m - 2 - p}^{(1)} (2 p + 1)\} Λ_{p}] + α^{4} Γ_{m - 1} - β (2 m - 1) Λ_{m - 1} Ω_{2 m} = \sum_{p = 0}^{m - 1} [\{- (ν + 1) A_{m - 1 - p}^{(2)} - 2 (2 p - 1) B_{m - 1 - p}^{(2)} - β ν A_{m - 1 - p}^{(2)}\} 2 p Γ_{p} + \{- (ν + 1) A_{m - 1 - p}^{(2)} - 2 B_{m - 1 - p}^{(2)} (2 p - 1)\} 2 p (2 p + 1) Λ_{p}] + \sum_{p = 0}^{m - 2} [\begin{array}{l} \{(β + 1) ν B_{m - 2 - p}^{(2)} + (β - 2) B_{m - 2 - p}^{(5)} - C_{m - 2 - p}^{(1)} 2 p\} Γ_{p} \\ + [\{ν B_{m - 2 - p}^{(2)} - 2 (B_{m - 2 - p}^{(5)}) - C_{m - 2 - p}^{(1)} 2 p\} (2 p + 1) + β \{2 ν A_{m - 2 - p}^{(2)} + A_{m - 2 - p}^{(7)}\}] Λ_{p} \end{array}] - \sum_{p = 0}^{m - 3} [D_{m - 3 - p}^{(1)} Γ_{p} + D_{m - 3 - p}^{(1)} (2 p + 1) Λ_{p}] - 2 β (m - 1) Γ_{m - 1} + (β - α^{4}) Λ_{m - 2} .

앞서와 같이 Eq. (11)으로부터 $Γ_{1}$ , $Γ_{m}$ 및 $Λ_{m}$ ( $m$ ≥2)이 다음식과 같이 구해진다.

(13)

Γ_{1} = \frac{β Λ_{0} - α^{4} Γ_{0} - 6 Λ_{1}}{2 (β + 1)}, Γ_{m} = \frac{Ω_{2 m} - (2 m - 2) Ω_{1 m}}{β (2 m) (2 m - 1) (2 m - 2)}, Λ_{m} = \frac{(2 m - 2) Ω_{1 m} - (β + 1) Ω_{2 m}}{β (2 m + 1) (2 m) (2 m - 1) (2 m - 2)} .

Eq. (13)를 적용하면 Eq. (5)는 Eq. (14)과 같이 나타낼 수 있다.

(14)

U (θ) = Γ_{0} + Γ_{1} θ^{2} + Γ_{2} θ^{4} + \dots = Γ_{0} + \{Ω_{1 m} (Γ_{0}, Λ_{0}, Λ_{1}), Ω_{2 m} (Γ_{0}, Λ_{0}, Λ_{1})\} θ^{2} + \{Ω_{1 m} (Γ_{0}, Λ_{0}, Λ_{1}), Ω_{2 m} (Γ_{0}, Λ_{0}, Λ_{1})\} θ^{4} + \dots, W (θ) = Λ_{0} θ + Λ_{1} θ^{3} + Λ_{2} θ^{5} + \dots = Λ_{0} θ + Λ_{1} θ^{3} + \{Ω_{1 m} (Γ_{0}, Λ_{0}, Λ_{1}), Ω_{2 m} (Γ_{0}, Λ_{0}, Λ_{1})\} θ^{5} + \dots .

계수 $Γ_{0}$ , $Λ_{0}$ , $Λ_{11}$ 로 정리하면 Eq. (10)과 동일한 형태로 표현된다.

2.3 각 경계조건에 대한 공진조건 도출

경계조건으로 다음의 경우를 생각할 수 있다.

A) 베럴 양단 고정된 경우

(15)

U (θ_{b}) = W (θ_{b}) = {\frac{d W (θ)}{d θ}|}_{θ_{b}} = 0 .

B) 베럴 양단 단순 지지된 경우

(16)

U (θ_{b}) = W (θ_{b}) = {M_{1}|}_{θ_{b}} = 0 .

베럴의 양단이 자유인 경우는 실용적이지 않으므로 생략하기로 한다. 여기서 ${\frac{d W (θ)}{d θ}|}_{θ_{θ}}$ 및 ${M_{1}|}_{θ_{b}}$ 은 각각 다음과 같이 구할 수 있다.

(17)

{\frac{d W (θ)}{d θ}|}_{θ_{b}} = \sum_{m = 0}^{\infty} 2 m Λ_{m} θ_{b}^{2 m - 1} .

(18)

{M_{1}|}_{θ_{b}} = C_{b} \sum_{m = 0}^{\infty} 2 m (2 m - 1) Λ_{m} θ_{b}^{2 m - 2} + C_{b} \sum_{m = 0}^{\infty} 2 m (2 m + 1) Γ_{m} θ_{b}^{2 m - 1} - ν \sin θ_{b} \sum_{m = 0}^{\infty} 2 m Λ_{m} θ_{b}^{2 m - 1} - ν \sin θ_{b} C_{b} \sum_{m = 0}^{\infty} Γ_{m} θ_{b}^{2 m + 1},

여기서 $C_{b} = \cos θ_{b} + κ - 1$ 이다.

상술한 경계조건을 적용하기 위해서는, 우선 Eq. (10)의 미정계수 $Γ_{0}$ , $Λ_{0}$ 및 $Λ_{1}$ 를 결정하고 이에 대한 $U$ , $W$ 및 $\frac{d W}{d θ}$ 를 도출한 후 경계값을 대입하여 경계조건을 적용한다. 이때 $U$ 및 $W$ 함수는 기·우함수 특성을 반영한 각 경우에 대해 적용한다.

한편 미정계수 $Γ_{0}$ , $Λ_{0}$ 및 $Λ_{1}$ 는, Eq. (10)에 나타난 일반해의 형태 및 선형성에서 알 수 있듯이, 다음과 같은 3가지 경우로 쓸 수 있다.

(19)

Γ_{0} = 1, Λ_{0} = 0, Λ_{1} = 0 인 경우 U (θ) = U_{1}, W (θ) = W_{1}, \frac{d W (θ)}{d θ} = {(W^{'})}_{1}, {(M_{1})}_{1}, Γ_{0} = 0, Λ_{0} = 1, Λ_{1} = 0 인 경우 U (θ) = U_{2}, W (θ) = W_{2}, \frac{d W (θ)}{d θ} = {(W^{'})}_{2}, {(M_{1})}_{2}, Γ_{0} = 0, Λ_{0} = 0, Λ_{1} = 1 인 경우 U (θ) = U_{3}, W (θ) = W_{3}, \frac{d W (θ)}{d θ} = {(W^{'})}_{3}, {(M_{1})}_{3} .

먼저 양단 고정인 경우(A), Eq. (19)의 3가지 경우에 있어서 Eq. (8)을 이용한 계수 $Γ_{m - 1}$ 및 $Λ_{m}$ 을 각각 구하고 이들이 반영된 $U_{1}$ , $U_{2}$ , $U_{3}$ , $W_{1}$ , $W_{2}$ , $W_{3}$ 및 $\frac{d W_{1}}{d θ}$ , $\frac{d W_{2}}{d θ}$ , $\frac{d W_{3}}{d θ}$ 를 구한 후 경계값( $θ = θ_{b}$ )을 대입하면 각각 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있다.

(20)

U_{1 b} = \sum_{m = 0}^{\infty} Γ_{m} θ_{b}^{2 m + 1}, W_{1 b} = \sum_{m = 0}^{\infty} Λ_{m} θ_{b}^{2 m}, {\frac{d W_{1}}{d θ}}_{θ_{b}} = \sum_{m = 0}^{\infty} 2 m Λ_{m} θ_{b}^{2 m - 1}, U_{2 b} = \sum_{m = 0}^{\infty} Γ_{m} θ_{b}^{2 m + 1}, W_{2 b} = \sum_{m = 0}^{\infty} Λ_{m} θ_{b}^{2 m}, {\frac{d W_{2}}{d θ}}_{θ_{b}} = \sum_{m = 0}^{\infty} 2 m Λ_{m} θ_{b}^{2 m - 1}, U_{3 b} = \sum_{m = 0}^{\infty} Γ_{m} θ_{b}^{2 m + 1}, W_{3 b} = \sum_{m = 0}^{\infty} Λ_{m} θ_{b}^{2 m}, {\frac{d W_{3}}{d θ}}_{θ_{b}} = \sum_{m = 0}^{\infty} 2 m Λ_{m} θ_{b}^{2 m - 1} .

한편, $U$ 와 $W$ 의 기·우함수 조합에 따라 각각의 경우에 대해 $U_{b}$ , $W_{b}$ 및 $\frac{d W_{b}}{d θ}$ 은 Eqs. (21) 및 (22)로 표현된다.

$U (θ)$ 가 기함수이고 $W (θ)$ 가 우함수인 경우;

(21)

U_{b} = Γ_{0} θ_{b} + Γ_{1} θ_{b}^{3} + \sum_{m = 2}^{\infty} Γ_{m} θ_{b}^{2 m + 1}, W_{b} = Λ_{0} + Λ_{1} θ_{b}^{2} + \sum_{m = 2}^{\infty} Λ_{m} θ_{b}^{2 m}, {\frac{d W (θ)}{d θ}|}_{θ_{b}} = 2 Λ_{1} θ_{b} + \sum_{m = 2}^{\infty} 2 m Λ_{m} θ_{b}^{2 m - 1} .

$U (θ)$ 가 우함수이고 $W (θ)$ 가 기함수인 경우;

(22)

U_{b} = Γ_{0} + Γ_{1} θ_{b}^{2} + \sum_{m = 2}^{\infty} Γ_{m} θ_{b}^{2 m}, W_{b} = Λ_{0} θ_{b} + Λ_{1} θ_{b}^{3} + \sum_{m = 2}^{\infty} Λ_{m} θ_{b}^{2 m + 1}, {\frac{d W (θ)}{d θ}|}_{θ_{b}} = Λ_{0} + 3 Λ_{1} θ_{b}^{2} + \sum_{m = 2}^{\infty} (2 m + 1) Λ_{m} θ_{b}^{2 m} .

각 경우에 대한 Eqs. (21) 및 (22)를 Eq. (20)에 대입하면 그 결과는 더 이상 𝜃의 함수가 아니다. 따라서 경계조건 Eq. (15)을 만족하기 위해서는 다음의 식을 만족하는 각진동수 𝜔가 공진 각진동수가 된다.

(23)

|\begin{matrix} U_{1 b} & U_{2 b} & U_{3 b} \\ W_{1 b} & W_{2 b} & W_{3 b} \\ {(\frac{d W}{d θ})}_{θ_{1 b}} & {(\frac{d W}{d θ})}_{θ_{2 b}} & {(\frac{d W}{d θ})}_{θ_{3 b}} \end{matrix}| = 0,

여기서 구한 각 공진 주파수에 대해서 Eq. (21)에서 구한 해들의 1차 결합으로 나타낼 수 있다.

(24)

U = C_{1} U_{1} + C_{2} U_{2} + C_{3} U_{3}, W = C_{1} W_{1} + C_{2} W_{2} + C_{3} W_{3} .

Eq. (24)에서 미정계수 $C_{1}$ , $C_{2}$ , $C_{3}$ 는 다음의 관계를 만족해야만 한다.

(25)

[\begin{matrix} U_{1 b} & U_{2 b} & U_{3 b} \\ W_{1 b} & W_{2 b} & W_{3 b} \\ {(\frac{d W}{d θ})}_{θ_{1 b}} & {(\frac{d W}{d θ})}_{θ_{2 b}} & {(\frac{d W}{d θ})}_{θ_{3 b}} \end{matrix}] [\begin{array}{l} C_{1} \\ C_{2} \\ C_{3} \end{array}] = 0 .

Eq. (25)의 3개의 미정계수는 동시에 구할 수 없으므로 진동 분포를 보기 위해서 $C_{1}$ =1로 두고 $C_{2}$ 및 $C_{3}$ 를 구하면 다음과 같다.

(26)

C_{2} = - \frac{U_{1 b} W_{3 b} - U_{3 b} W_{1 b}}{U_{2 b} W_{3 b} - U_{3 b} W_{2 b}}, C_{3} = \frac{U_{1 b} W_{2 b} - U_{2 b} W_{1 b}}{U_{2 b} W_{3 b} - U_{3 b} W_{2 b}} .

이렇게 결정된 상수 $C_{1}$ , $C_{2}$ 및 $C_{3}$ 를 Eq. (24)에 대입하면 각 공진 모드에 대한 각도함수의 진동 변위를 구할 수 있게 된다.

(27)

U (θ) = U_{1} (θ) + C_{2} U_{2} (θ) + C_{3} U_{3} (θ), W (θ) = W_{1} (θ) + C_{2} W_{2} (θ) + C_{3} W_{3} (θ) .

같은 방법으로 양단이 단순지지(B)된 경우의 $U_{b}$ , $W_{b}$ 및 ${M_{1}|}_{θ_{b}}$ 는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$U (θ)$ 가 기함수이고 $W (θ)$ 가 우함수인 경우;

(28)

U_{b} = Γ_{0} θ_{b} + Γ_{1} θ_{b}^{3} + \sum_{m = 2}^{\infty} Γ_{m} θ_{b}^{2 m + 1}, W_{b} = Λ_{0} + Λ_{1} θ_{b}^{2} + \sum_{m = 2}^{\infty} Λ_{m} θ_{b}^{2 m}, {M_{1}|}_{θ_{b}} = 2 (C_{b} - ν θ_{b} \sin θ_{b}) Λ_{1} - ν C_{b} θ_{b} Γ_{0} \sin θ_{b} + C_{b} θ_{b} (6 - ν θ_{b}^{2} \sin θ_{b}) Γ_{1} + \sum_{m = 2}^{\infty} 2 m \{C_{b} (2 m - 1) - ν θ_{b} \sin θ_{b}\} Λ_{m} θ_{b}^{2 m - 2} + C_{b} \sum_{m = 2}^{\infty} \{2 m (2 m + 1) - ν θ_{b}^{2} \sin θ_{b}\} Γ_{m} θ_{b}^{2 m - 1} .

$U (θ)$ 가 우함수이고 $W (θ)$ 가 기함수인 경우;

(29)

U_{b} = Γ_{0} + Γ_{1} θ_{b}^{2} + \sum_{m = 2}^{\infty} Γ_{m} θ_{b}^{2 m}, W_{b} = Λ_{0} θ_{b} + Λ_{1} θ_{b}^{3} + \sum_{m = 2}^{\infty} Λ_{m} θ_{b}^{2 m + 1}, {M_{1}|}_{θ_{b}} = - ν \sin θ_{b} C_{b} Γ_{0} + (2 - ν θ_{b}^{2} \sin θ_{b}) C_{b} Γ_{1} - ν \sin θ_{b} Λ_{0} + 3 (2 C_{b} θ_{b} - ν θ_{b}^{2} \sin θ_{b}) Λ_{1} + \sum_{m = 2}^{\infty} (2 m + 1) \{2 m C_{b} - ν θ_{b} \sin θ_{b}\} θ_{b}^{2 m - 1} Λ_{m} + C_{b} \sum_{m = 2}^{\infty} \{2 m (2 m - 1) - ν θ_{b}^{2} \sin θ_{b}\} θ_{b}^{2 m - 2} Γ_{m} .

Eq. (19)과 유사하게 미정계수를 결정하여 각각에 대한 해를 표현하면 다음과 같다.

(30)

Γ_{0} = 1, Λ_{0} = 0, Λ_{1} = 0 인 경우 U (θ) = U_{1}, W (θ) = W_{1}, M_{1} (θ) = {M_{1}|}_{1}, Γ_{0} = 0, Λ_{0} = 1, Λ_{1} = 0 인 경우 U (θ) = U_{2}, W (θ) = W_{2}, M_{1} (θ) = {M_{1}|}_{2}, Γ_{0} = 0, Λ_{0} = 0, Λ_{1} = 1 인 경우 U (θ) = U_{3}, W (θ) = W_{3}, M_{1} (θ) = {M_{1}|}_{3} .

Eq. (30)을 Eqs. (28) 및 (29)의 각 경우에 대하여 계산하고, 경계값 및 경계조건 Eq. (16)을 적용하면, Eqs. (23), (24), (25), (26)과 동일한 과정을 통해 Eq. (27)와 같은 형태의 양단이 단순지지된 경우에 대한 진동변위를 도출할 수 있다.

III. 결과 및 분석

Fig. 2는 양단이 고정인 경계조건을 갖는 베럴형 원통쉘의 진동변위 분포를 계산한 결과를 나타낸 것이다. 쉘의 두께 $h$ = 2 mm, 길이 $L$ = 72 mm, 곡률반경 $R_{c}$ = 60 mm, 경계에서의 직경 $d$ = 20 mm로 설정하였다. 또한 쉘의 재질을 알루미늄으로 가정하여 물질 상수들은, 밀도 𝜌 = 2700 kg/m³, 영률 $Y_{E}$ = 70 × 10⁹, 포아손 비 𝜈 = 0.33을 적용하였다. 가로축은(Fig. 1에 나타낸) 각도 𝜃를 나타내고 있으며 세로축은 진동변위를 나타낸다. 이때 진동변위는, Eqs. (25) 및 (26)에서 기술한 것과 같이, 진동분포의 형태를 보기위해 $C_{1}$ 을 규격화하였으므로 진폭은 상대적인 값을 나타내고 있으며 절대적인 값의 의미는 없다. 결과를 보면 베럴의 양 끝이 고정된 경계조건을 잘 만족하고 있음을 알 수 있다. 진동 모드의 차수가 커질수록 노드 점의 수가 증가하며 파장이 짧아짐을 알 수 있다. 또한 선형 원통의 경우와는 달리 파장의 왜곡이 나타남을 확인할 수 있다.

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Fig. 2.

Normalized vibration displacement distributions of a barrel type cylindrical shell with clamped clamped boundary conditions. (a) Case where $W$ is an even function and $U$ is an odd function. (b) Case where $W$ is an odd function and $U$ is an even function. The horizontal axis represents the angular coordinate 𝜃.

계산 방법의 유효성을 확인하기 위하여 유한요소법(COMSOL Multiphysics®)를 사용하여 계산한 결과를 Fig. 3에 나타내었다. 이 결과는 Fig. 2와는 달리 가로축이 베럴형 쉘의 곡면 거리를 나타내고 있다. 따라서 각도에 따른 분포를 나타낸 Fig. 2와는 표현이 다소 상이한 부분도 있다. 그러나 모든 경우에 대해 Fig. 2의 결과와 상당한 일치를 보인다. 계산의 부담을 줄이기 위하여 유한 요소 계산의 경우, 최대 요소 크기와 최소 요소 크기는 각각 0.732 mm와 0.00146 mm로 설정하였으며, 요소 성장률은 1.1, 곡률 계수는 0.2로 설정하였다. 이러한 설정은 쉘의 두께를 고려할 때 충분히 정밀한 설정이라고는 할 수 없다. 그럼에도 불구하고 본 연구에서 제안한 계산 방법의 유효성을 확인하기에는 충분한 유사성을 나타내고 있다.

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Fig. 3.

(Color available online) FEM results for the vibration displacement distributions of the barrel type cylindrical shell. (a) Case where $W$ is an even function and $U$ is an odd function. (b) Case where $W$ is an odd function and $U$ is an even function. The horizontal axis represents the arc length along the shell surface.

베럴형 원통쉘의 곡율반경에 따른 공진 주파수의 변화를 조사하기 위하여 곡률반경을 60 mm, 70 mm, 80 mm, 90 mm로 변화시켜가며 각 공진 모드에 나타나는 공진 주파수의 변화를 계산하여 Fig. 4에 나타내었다. 여기서 Fig. 4(a)는 본 연구에서 제안된 방법을 사용한 결과를 나타내고 있으며 그래프 (a-1)은 $U$ 가 우함수이고 $W$ 가 기함수인 경우, 그래프 (a-2)는 $U$ 가 기함수이고 $W$ 가 우함수인 경우의 결과를 각각 나타내고 있다. 두 경우 모두 곡률반경이 커질수록 모든 진동 모드의 공진주파수가 증가함을 나타내고 있다. $U$ 가 우함수이고 $W$ 가 기함수인 경우는 $U$ 가 기함수이고 $W$ 가 우함수인 경우의 결과에 비해 각 모드 간의 공진 주파수 간격이 넓게 나타남을 확인할 수 있다. 비교를 위해 유한요소법을 사용하여 계산한 결과인 Fig. 4(b)의 경우도 일치하는 경향을 나타내고 있으며 각 모드의 공진 주파수 값도 매우 유사한 결과를 나타내고 있음을 확인할 수 있었다. 상술한 두 가지 계산 방법의 비교를 위하여 각 공진 주파수의 비교를 Fig. 5에 나타내었다. Fig. 5(a)는 $U$ 가 우함수이고 $W$ 가 기함수인 경우이며 Fig. 5(b)는 $U$ 가 기함수이고 $W$ 가 우함수인 경우다. 수평축의 진동 모드 순서는 편의상 설정한 것으로, 1 ~ 4는 각각 곡률반경이 60 mm ~ 90 mm인 경우 첫 번째 공진 모드에 대한 주파수를 나타내고 있으며 5 ~ 8은 같은 곡률반경의 변화에 있어서 두 번째 공진 모드의 주파수 변화를 나타내고 있다. 같은 방법으로 9 ~ 12는 세 번째 공진 모드에 대한 주파수의 변화를 나타내고 있다. (a)와 (b) 모두 본 연구에서 제안한 방법으로 계산한 결과와 유한 요소법으로 계산한 결과가 잘 일치함을 나타내고 있음을 확인할 수 있다. 비교적 높은 주파수에서 두 방법에 따른 결과 차이가 크게 나타나는 것은 상술한 바와 같이 유한 요소의 경우 요소의 크기에 대한 한계로 인해 고주파 영역에서 더욱 큰 오차를 포함할 가능성이 커지기 때문으로 생각된다.

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Fig. 4.

(Color available online) Variation of resonance frequencies of each vibration mode with respect to the shell surface curvature radius. The left graphs correspond to the case where $U$ is an even function and $W$ is an odd function, while the right graphs correspond to the case where $U$ is an odd function and $W$ is an even function. (a) Results obtained using the proposed analytical method. (b) Results obtained using finite element analysis (FEM).

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Fig. 5.

(Color available online) Comparison of resonance frequencies obtained from the proposed analytical method and FEM. (a) Case where $U$ is an even function and $W$ is an odd function. (b) Case where $U$ is an odd function and $W$ is an even function. Mode order 1–4, 5–8, and 9–12 represent the first, second, and third resonance modes, respectively, with curvature radii of 60 mm, 70 mm, 80 mm, and 90 mm in ascending order.

IV. 결 론

본 연구에서는 베럴형 원통 쉘의 축대칭 진동 특성을 해석적으로 규명하기 위하여 라그랑지안으로부터 운동방정식을 유도하고, 각도에 대한 멱급수 해법을 적용하여 일반해를 구하였다. 변위 함수의 기·우함수 특성에 따라 두 가지 해의 형태를 제시하였으며, 양단 고정의 경계조건에 대해 공진 조건을 행렬식 형태로 도출하였다. 알루미늄으로 제작된 쉘을 예로 들어 고유진동수와 모드 형상을 계산한 결과, 모드 차수가 증가할수록 노드 수가 증가하고 파장이 짧아지는 경향을 확인하였다. 또한 선형원통과는 달리 곡률에 의한 파형 왜곡이 나타남을 확인하였다. 제안된 해석 결과는 유한요소해석 결과와 전반적으로 잘 일치하여 해석 방법의 타당성을 검증하였다. 특히 곡률반경이 증가할수록 모든 진동 모드의 공진주파수가 증가하는 경향을 확인하였으며, 변위 함수의 대칭 특성에 따라 모드 간 주파수 간격에 차이가 있음을 보였다.

본 연구에서 제시한 해석 기법은 베럴형 쉘 구조의 진동 특성을 효율적으로 예측하는 방법으로, 향후 플렉스텐셔널 트랜스듀서와 같은 곡면 구조 기반 음향 소자의 설계 및 최적화에 유용하게 활용될 수 있을 것으로 기대된다.

Acknowledgements

이 논문은 부경대학교 자율창의학술연구비(2025년 후기)에 의하여 연구되었음.

References

L. Meirovitch, Analytical Methods in Vibrations (Macmillan, New York, 1967), pp. 205-273.

H. Chung, “Free vibration analysis of cylindrical shells,” J. Sound Vib. 74, 331-350 (1981).

10.1016/0022-460X(81)90303-5

M. Amabili, “Theory and experiments for large-amplitude vibrations of empty and fluid-filled circular cylindrical shells with imperfections,” J. Sound Vib. 262, 921-975 (2003).

10.1016/S0022-460X(02)01051-9

A. E. H. Love, A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity, 4^th ed (Cambridge University, New York, 1944), pp. 487-498.

S. P. Timoshenko and S. Woinowsky-Krieger, Theory of Plates and Shells, 2^nd ed (McGraw-Hill, New York, 1959), pp. 51-54.

W. Flugge, Stresses in Shells (Springer-Verlag, Heidelberg, 1973), pp. 414-432.

10.1007/978-3-642-88291-3_7

Vibration of Shells, NASA SP-288, https://ntrs.nasa.gov/citations/19730018197/, (Last viewed September 2, 2013).

J. N. Reddy, Theory and Analysis of Elastic Plates and Shells (CRC Press, Boca Raton, London, New York, 2006), pp. 403-378.

10.1201/9780849384165

W. Soedel, Vibrations of Shells and Plates, 3^rd ed (Marcel Dekker, New York, 2004), pp. 301-321.

M. Amabili, Nonlinear Vibrations and Stability of Shells and Plates, (Cambridge University Press, Cambridge, New York, Melbourne, 2008), pp. 242-271.

O. C. Zienkiewicz and R. L. Taylor, The Finite Element Method, 5^th ed (Butterworth-Heinemann, Oxford, 2000), pp. 87-111.

K. J. Bathe, Finite Element Procedures (Prentice Hall, New Jersey, 1996), pp. 148-335.

P. T. Thang, H. Kim, C. Kim, H. Jang, T. Kim, and J. Kim, “Free vibration analysis of barrel-shaped sandwich shells with auxetic honeycomb core using modified thick shell theory,” Aerosp. Sci. Technol. 145, 108861 (2024).

10.1016/j.ast.2023.108861

J. Mantari, A. Oktem, and C. Soares, “Static and dynamic analysis of laminated composite and sandwich plates and shells by using a new higher-order shear deformation theory,” Compos. Struct. 94, 37-49 (2011).

10.1016/j.compstruct.2011.07.020

D. Li, Y. Lan, and T. Zhou, “Numerical and experimental investigation of a variable-curvature shell class I flextensional transducer,” J. Acoust. Soc. Am. 154, 1800-1812 (2023).

10.1121/10.0021071

L. Zhang, “Vibrational behaviour of higher-order cylindrical shells,” J. Korean Soc. Mech. Eng. 15, 137-147 (2023).

X. Sun, W. Sun, D. Du, X. Liu, S. Lv, and K. Xu, “Semi-analytical dynamic modeling and analysis of cylindrical shell with arbitrary variable path curved stiffeners,” MAMS. 33, 2445224 (2026).

10.1080/15376494.2024.2445224

The Journal of the Acoustical Society of KoreaISSN:1225-4428(Print) 2287-3775(Online)한국음향학회

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Vibration characteristics analysis of barrel type cylindrical shells

ABSTRACT

MAIN

Fig. 1.

Geometry and coordinate system of the barrel type cylindrical shell. The meridional curvature radius Rc, angular coordinate 𝜃, shell length L, and thickness h are defined.

(1)

(2)

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(22)

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(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

Fig. 2.

Fig. 3.

Fig. 4.

Fig. 5.

Acknowledgements

References

Geometry and coordinate system of the barrel type cylindrical shell. The meridional curvature radius $R_{c}$ , angular coordinate 𝜃, shell length $L$ , and thickness $h$ are defined.