Beam pattern analysis for beam homogenization of conformal array sonar

Jeong-Ung Choi; Wooyoung Hong; Jun-Seok Lim; Keunhwa Lee

doi:10.7776/ASK.2022.41.6.637

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Research Article

The Journal of the Acoustical Society of Korea. 30 November 2022. 637-646
https://doi.org/10.7776/ASK.2022.41.6.637

Beam pattern analysis for beam homogenization of conformal array sonar

곡면 배열 소나의 빔 균일화를 위한 빔 패턴 분석

Jeong-Ung Choi¹

Wooyoung Hong¹

Jun-Seok Lim²

Keunhwa Lee¹^*

최 정웅¹

홍 우영¹

임 준석²

이 근화¹^*

¹세종대학교 대학원 해양시스템융합공학과

²세종대학교 전자공학과

^{*Corresponding Author}

ABSTRACT

Sub-arrays of arbitrary conformal array have different geometric shape through steering direction, thus the beam patterns of sub-arrays are always non-uniform. In this paper, we apply the beam pattern synthesis method using convex optimization into the conformal array, and shows the improvement of uniformity of beam performance. The simulation is performed with the conformal array of cut-sphere shape. As a result, the standard deviation of 3 dB beamwidth in elevation is greatly reduced but the directivity index is also reduced. To alleviate this trade-off, we propose a convex optimization using a shading function.

Keywords

Conformal array sonar

Convex optimization

Array pattern synthesis

Weighting coefficient

임의의 곡면 배열에서 단위 빔 형성에 사용되는 부배열은 조향 방위마다 기하학적 형상이 다르다. 이 때문에 조향 방위 별 부배열의 빔 패턴은 항상 균일하지 않다. 본 논문에서는 볼록 최적화를 이용한 빔 형성 기법을 곡면 배열에 적용하고, 조향 방위별 빔 성능의 균일성이 향상되는 것을 보였다. 시뮬레이션은 절단 구면 형상의 곡면 배열에 대해 수행되었다. 고각 3 dB 빔 폭의 표준 편차가 크게 감소하였으나 반대급부로 지향 지수도 감소하는 것을 관찰했다. 이를 완화시키기 위한 하나의 방법으로 쉐이딩 함수를 이용한 최적화 기법을 제안한다.

키워드

곡면 배열 소나

볼록 최적화

빔 형성

센서 가중치

MAIN

I. 서 론
II. 볼록 최적화를 이용한 선형 배열 최적 가중치 추정
2.1 선형 배열에서 볼록 최적화 문제 구성
2.2 볼록 최적화를 이용한 선형 배열 최적 가중치 추정
III. 곡면 배열 최적 가중치 추정
IV. 최적 가중치 추정 결과
V. 쉐이딩 함수를 이용한 볼록 최적화 기법
VI. 결 론

I. 서 론

함정의 소음저감기술의 발전에 따라 수중방사소음은 급격히 감소하고 있으며, 해상 무역 발달에 따른 해상 교통량 증가로 인해 수중배경소음이 증가하여 소나 의 탐지거리가 제한되고 있다. 이러한 제한을 극복하기 위해 대구경 배열 센서의 필요성이 높아지고 있다. 곡면 배열은 평면 배열에 비해 제한된 소나 탑재 공간을 효율적으로 사용하여, 더 많은 센서를 확보함으로써 배열을 대구경화하여 탐지성능을 높일 수 있다. 곡면 배열은 빔 조향 방위에 따라 유효한 센서를 선택하여 부배열을 형성한다. 이로 인해 조향 방위마다 부배열 형상이 달라지기 때문에 조향 빔 간의 빔 성능 편차가 존재한다. 조향 빔별 성능 편차가 있을 시, 탐지 표적이 이동 중에 낮은 성능의 조향 방위를 지날 때 표적이 소실되었다가 다시 탐지되는 등의 탐지 안정성 문제가 발생할 가능성이 있다.^[1]

이를 최소화하기 위해, 배열 형상 설계 단계에서 조향 방위별 성능 균일성을 고려하여 설계함으로써 편차를 줄일 수 있다.^[2] 그러나 곡면 배열의 특성상 형상을 모든 방향에 대해 균일화하기 어려우며, 배열의 경계가 존재해 배열 경계와 배열 중심 부근의 부배열 형상에 차이가 있어 성능 균일화에 한계가 있다.

이러한 한계점을 극복하기 위한 방법으로, 배열 센서별 가중치를 통해 조향 빔 성능 편차를 줄이는 기법이 연구된 바 있다.^[3,4] 곡면 배열 센서 가중치 추정에 대한 연구로는 최대 고유치를 이용한 기법^[5]이나 최소제곱법 기법^[6] 등 여러 연구가 수행되었다.^[7,8,9,10] 그러나 위 연구들은 100개 미만의 센서들에 적용이 된 것이며 단일 조향 빔에 대한 분석만 수행되었다.

선형 배열이나 평면 배열 등 모든 배열에 대한 센서 가중치 추정 기법들까지 확대해 정리해보면 해석적 접근과 수치적인 접근으로 나눌 수 있다. 대표적인 해석적 기법으로는 선형 배열에서 원하는 부엽 준위의 빔 패턴을 얻기 위한 Chebyshev 기법^[11]과 평면 배열에서 낮은 부엽 준위를 얻기 위한 반복 푸리에 변환 기법^[12]이 있다. 해석적 기법은 계산 시간은 짧지만, 센서 간격이 일정한 배열에만 적용이 가능하다는 한계가 있다.

한편, 대표적인 수치적 기법으로는 유전 알고리즘,^[13,14] 차분 진화 알고리즘,^[15] 입자군집 최적화 알고리즘^[16] 등이 제안되었다. 이러한 기법들은 비선형 탐색 방식을 사용함으로써 센서 간격이 일정하지 않은 배열에도 가중치 추정이 가능하다. 그러나 수치적인 기법은 문제 크기가 작은 경우에는 좋은 성능을 보였지만 문제 크기가 커짐에 따라 지역 해에 빠지는 경우가 많아져 계산 시간이 급격히 늘어나고 해의 품질이 떨어진다. 이로 인해 1000개 이상의 많은 센서로 부배열을 형성하는 곡면 배열에 적용하기에는 한계가 있다.

이에 비해 Lebret와 Boyd^[17]가 만든 볼록 최적화를 이용한 선형 배열 빔 형성 기법은 내부점 법을 통해 다른 최적화 기법에 비해 빠르게 최적해를 구할 수 있으며 센서 간격이 균일하지 않은 선형 배열에도 적용 가능한 방법이다.

이에 본 논문에서는 볼록 최적화를 이용한 선형 배열 가중치 추정 방법을 곡면 배열에 적용하고 조향 빔 성능 균일화 결과를 기술한다. 또한, 볼록 최적화 기법 적용 시 균일한 부엽으로 인해 지향 지수가 떨어지는 한계를 해결하기 위한 방법으로 쉐이딩 함수를 이용하여 빔 패턴의 부엽 형상을 조정하는 기법을 제안한다.

II장에서는 기존 선형 배열에서 볼록 최적화를 이용한 센서 가중치 추정 방법을 소개한다. III장에서는 선형 배열에서 사용되던 기존 기법을 곡면 배열에 적용하기 위한 최적 가중치 및 빔 특성 도출 과정을 기술한다. IV장에서는 곡면 배열에 적용한 기법을 통해 도출한 가중치를 적용한 결과를 기술한다. V장에서는 볼록 최적화 식에 쉐이딩 함수를 적용한 기법의 적용 전후 결과를 비교하였으며 VI장은 결론이다.

II. 볼록 최적화를 이용한선형 배열 최적 가중치 추정

2.1 선형 배열에서 볼록 최적화 문제 구성

우선 볼록 최적화 문제의 기본 형태는 Eq. (1)과 같다.^[18]

(1)

minimize f (x) subject to x \in C .

$f (x)$ 를 최소화시키는 $x$ 를 찾되, $x$ 가 영역 $C$ 에는 포함되어야 하는 제약 조건을 가지는 최적화 문제이다. $f (x)$ 가 볼록 함수이면서 영역 $C$ 가 볼록 집합이라면 볼록 최적화 문제 조건을 갖추게 된다. 볼록 집합이란 어떤 집합 안 임의의 두 점을 선택하고 선분으로 연결했을 때 선분 위의 모든 점이 그 집합 안에 속한다면 볼록 집합이다. 위 볼록 집합 명제를 식으로 표현하면 아래 Eq. (2)와 같다.

(2)

x_{1}, x_{2} \in C \to α x_{1} + (1 - α) x_{2} \in C . (0 \leq α \leq 1)

$f (x)$ 가 볼록 함수라는 의미는 볼록 집합 내 두 점 $x_{1,} x_{2}$ 를 함수 $f$ 에 대입해 구한 $f (x_{1}), f (x_{2})$ 를 선분으로 연결했을 때 선분 위의 모든 점은 $x_{1,} x_{2}$ 를 선분으로 연결했을 때 임의의 선분 위의 점 $α x_{1} + (1 - α) x_{2}$ 이 $f (x)$ 에 $α x_{1} + (1 - α) x_{2}$ 를 대입한 값인 $f [α x_{1} + (1 - α) x_{2}]$ 보다 항상 크거나 같은 함수를 의미한다. 이를 식으로 나타내면 Eq. (3)과 같다.

(3)

f [α x_{1} + (1 - α) x_{2}] \leq α f (x_{1}) + (1 - α) f (x_{2}) .

2.2 볼록 최적화를 이용한 선형 배열 최적 가중치 추정

Lebret와 Boyd^[17]에 의하면, 볼록 최적화를 이용한 선형 배열의 최적 가중치 도출 기법은 아래와 같이 수식화된다.

(4)

\underset{w \in C^{N}}{minimize} \max (| G (θ) |), (| θ | ≧ K) subject to G (θ_{0}) = 1,

여기서 Eq. (4)의 첫 번째 식은 목적함수, Eq. (4)의 두번째 식은 제약 조건을 의미하며, $G (θ)$ 는 선형 배열 응답으로 Eq. (5) 같다.

(5)

G (θ) = \sum_{l = 1}^{N} w_{l} \exp (- j \frac{2 π}{λ} x_{l} \cos θ),

여기서 𝜆는 파장, $j$ 는 허수, 𝜃는 배열로 전파되는 평면파의 각도를 의미한다. 배열은 $N$ 개의 등방성 센서가 각각 $x_{1}, \dots, x_{N} \in R^{2}$ 위치에 있다고 가정한 모델이다. $w = [w_{1}, \dots, w_{N}]^{T}$ 가 복소 가중치 벡터이자 구해야 하는 결정 변수이다. Eq. (4)의 제약 조건에서 1은 선형 배열 응답의 최대값을 센서 개수로 나눈 상대적인 값이다. 즉, 선형 배열 응답이 $θ_{0}$ 에서 최대가 되는 것이 제약 조건이다. 목적 함수는 $(| θ | ≧ K)$ 의 배열 응답 최댓값을 최소화하는 센서별 가중치를 구하는 최적화 문제가 된다. 즉, $(| θ | ≧ K)$ 은 얻고자 하는 부엽 영역이 된다. 여기서 $K$ 는 사용자가 설정해주는 값이며 사용자가 얻고자 하는 메인 빔 폭과 관련이 있다.

예시로 31개의 센서가 반 파장 간격으로 배치된 선형 배열에 볼록 최적화 기법을 적용했다. Fig. 1을 보면 $K$ 는 5°, $θ_{0}$ 는 0°로 설정했을 때 가중치 적용전과 비교하여 $(| θ | ≧ K)$ 에서 배열 응답이 최소화되면서 균일하면서 낮은 부엽을 형성하였다. 또한, null-to-null 빔 폭이 $2 K$ 에 가까워지면서 기존 빔 폭보다 조금 넓어졌다. 이는 $(| θ | < K)$ 영역은 최소화되지 않으면서 메인 빔을 형성하게 된 결과이다. 이를 통해 볼록 최적화 문제식에서 $K$ 를 크게 설정할수록 넓은 빔 폭, $K$ 를 작게 설정할수록 작은 빔 폭을 가진 빔 패턴을 형성할 수 있다. 또한, 빔 폭을 넓게 설정할수록 최대 부엽 준위가 낮아지고 빔 폭을 좁게 설정할수록 최대 부엽 준위가 높아지는 빔 성능 변화 경향이 있었다.

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Fig. 1.

(Color available online) Optimal beamforming in a line array using convex optimization method.

참고로 Eq. (4)는 볼록 최적화 문제인 것이 증명되었는데 $G (θ)$ 는 볼록 함수인 아핀(affine) 함수 $(a^{T} x + b)$ 이므로 $\{x | a^{T} x + b = c\}$ 는 볼록 집합이라는 Eq. (2)의 명제에 따라 제약 조건 역시 볼록 집합을 형성한다. 여기서 $a$ 는 벡터, $b, c$ 는 스칼라이다.

볼록 함수 $G (θ)$ 의 절댓값의 최댓값 $\max (| G (θ) |)$ 역시 Eq. (3)의 명제에 따라 볼록 함수로 증명되었으므로 볼록 함수를 최소화하는 볼록 최적화 문제 조건을 만족한다.^[18]

볼록 최적화 문제로 증명이 되면 interior point 방법을 기반으로 하는 CVX toolbox와 같은 최적화 도구를 이용하여 비볼록 최적화 문제에 비해 빠른 시간 안에 최적해를 구할 수 있다.^[19] 이때 구한 해가 전역 해임을 보장하는 것도 볼록 최적화의 장점이다.

III. 곡면 배열 최적 가중치 추정

본 연구에서 사용할 곡면 배열 예시는 Fig. 2에서 보이는 것처럼 1000개 이상의 센서로 이루어져 있고 구가 직육면체에 맞춰 잘려진 형상으로 설계된 절단구 형상의 곡면 배열이다.

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Fig. 2.

(Color available online) A conformal array of sphere shape cut.

부배열은 조향 방위 벡터와 각 센서의 지향 벡터의 내적의 크기가 큰 순서대로 센서를 선택해서 형성한다. 음영 구역을 고려할 때 모든 센서의 50 % ~ 60 % 정도가 선택되어 하나의 빔을 형성한다. 이때 조향 빔의 메인 빔 형상은 Fig. 3처럼 타원에 가까운 형태를 띄고 있다. 실제 메인 빔의 단면은 타원과 매우 유사하다. 따라서, 본 연구에서는 메인 빔을 타원으로 가정하여 기존 선형 배열에서의 접근법을 곡면 배열에 적용하였다. 이를 수식으로 표현하면 Eq. (6)과 같다.

(6)

\underset{w \in C^{N}}{minimize} \max (| P (ϕ, θ) |) . (\frac{ϕ^{2}}{a^{2}} + \frac{θ^{2}}{b^{2}} ≧ 1), subject to P (ϕ_{0}, θ_{0}) = 1 .

Eq. (6)에서 $P (ϕ, θ)$ 는 단일 조향 방위의 곡면 배열 응답을 의미한다. 𝜙는 방위각, 𝜃는 고각이며 Fig. 4와 같이 곡면 배열의 중심을 원점으로 하는 절대 좌표계에서 정의된다. 즉, 𝜙와 𝜃는 조향 방향( $(ϕ_{0}, θ_{0})$ )을 기준으로 하는 각도이다. 따라서, Eq. (6)의 첫 번째 식은 $(ϕ^{2} / a^{2} + θ^{2} / b^{2} ≧ 1)$ 을 만족하는 $(ϕ, θ)$ 에서 배열 응답을 최소화하는 목적 함수이다. 메인 빔을 타원으로 보고 고각, 방위각 축 기준으로 보면 장축이 고각 방향, 단축이 방위각 방향으로 나타난다. 이러한 관점에서 보면 넓은 방위각 빔 폭을 원할수록 큰 $a$ 값을 설정해주고, 넓은 고각 빔 폭을 원할수록큰 $b$ 값을 설정해준다. 즉, $a, b$ 는 볼록 최적화 기법의 빔 폭 파라미터로 볼 수 있다. Eq. (6)의 두 번째 식은 제약 조건이며 ( $(ϕ_{0}, θ_{0})$ )에서 배열 응답이 최대가 되는 조건이다. 곡면 배열 응답을 구하는 수식은 아래의 Eq. (7)와 같다.^[2]

(7)

P_{m} (ϕ, θ) = \sum_{l = 1}^{L} w_{l} f ({\vec{n}}_{m l}, \vec{k}) e^{j \vec{k} ∙ \vec{X_{m l}}} c o n j (e^{j {\vec{k}}_{m} ∙ {\vec{X}}_{m l}}) = \sum_{l = 1}^{L} w_{l} f ({\vec{n}}_{m l}, \vec{k}) e^{j \vec{(k} - \vec{k_{m}}) ∙ \vec{X_{m l}}},

여기서 $\vec{k_{m}} (m = 1, 2, \dots, M)$ 는 빔 조향 벡터, ${\vec{X}}_{m l} (l = 1, 2, \dots, L)$ 는 단일 센서의 위치 벡터, ${\vec{n}}_{m l}$ 는 단일 센서의 방향 벡터이다. $m$ 은 조향 방향 번호, $l$ 은 센서 번호를 의미한다. $w = [w_{1}, \dots, w_{L}]^{T}$ 는 추정해야 할 센서 가중치 벡터이다. $f (.)$ 는 단일 센서의 방향성을 나타내며 수중 소음 입사 벡터 $\vec{k}$ 와 단일 센서의 방향 벡터 사이의 각에 의해 결정된다.

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Fig. 3.

(Color available online) Beam pattern for a sub-array of conformal array.

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Fig. 4.

(Color available online) Coordinate for beamforming.

IV. 최적 가중치 추정 결과

본 장에서는 III 장에서 소개한 볼록 최적화 기법을 절단 구면 형상 곡면 배열에 적용한 결과를 기술한다. Fig. 5는 곡면 배열의 조향 방위별 조향 빔의 3 dB ambiguity curve에 해당하는 빔 파워를 나타낸 그림이다. 그림을 보면 배열 경계로 갈수록 빔 파워가 급격히 하락하고 조향 빔이 기울어지는 것으로 보인다.

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Fig. 5.

(Color available online) Beam power of conformal array by steering direction.

Table 1은 배열 경계(A)와 배열 중심(B)에서 형성된 두 조향 빔의 성능 비교표이다. A와 B의 조향 방위는 Fig. 4에서 확인할 수 있다. 빔 성능을 비교해보면 배열 경계(A)가 배열 중심(B)에 비해 지향 지수(Directivity Index, DI)가 낮다. 최대 부엽 준위(Peak Sidelobe Level, PSL)의 경우에는 A가 B에 비해 방위각 PSL은 낮고, 고각 PSL은 더 높은 결과를 보여준다. 메인 빔 폭의 경우 A 조향 빔이 B 조향 빔에 비해 방위각과 고각의 빔 폭 차이가 크지 않다. 조향 빔의 단면을 도시한 Fig. 6을 보면 A의 메인 빔이 기울어진 영향으로 볼 수 있다. 참고로, 본 연구에서는 A와 B에 대해 Fig. 4와 같은 수직좌표계로 적용했다.

Table 1.

Comarison of beam performance at A, B.

	A	B
DI (dB)	27.45	31.41
Elevation 3 dB beamwidth (°)	5.26	6.03
Azimuth 3 dB beamwidth (°)	4.82	3.22
Elevation PSL (dB)	-11.35	-13.75
Azimuth PSL (dB)	-20.2	-13.38

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Fig. 6.

(Color available online) Comarison of　beampatterns at A, B.

다음은 이처럼 빔 성능과 메인 빔의 형상 차이가 나는 A(배열 경계), B(배열 중심) 위치에서 형성된 조향 빔에 대해 볼록 최적화 빔 형성 기법을 적용해 보았다.

Fig. 7은 A 위치 조향 빔 패턴과 제안 빔 형성 기법을 적용 전후 결과이다. 이때, Eq. (6)의 부엽 최소화 영역 $(ϕ^{2} / a^{2} + θ^{2} / b^{2} ≧ 1)$ 을 결정하는 빔 폭 파라미터는 (a = 4.5°, b= 7.5°)로 설정하였다. 적용 결과를 보면 설정한 $(ϕ^{2} / 4 . 5^{2} + θ^{2} / 7 . 5^{2} ≧ 1)$ 에 해당하는 영역의 부엽이 줄어들면서 조향 빔이 방위각 단축, 고각 장축 기준 타원으로 정렬됨을 확인할 수 있다.

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Fig. 7.

(Color available online) Comarison of　beampatterns with optimal weighting.

Table 2를 보면 방위각 3 dB 빔 폭은 줄어들고 고각 3 dB 빔 폭은 증가하였다. 이는 기울어졌던 메인 빔이 부엽 최소화 영역에 맞춰 메인 빔을 형성했기 때문이다. 최대 부엽 준위의 경우에는 고각에서는 감소했고 방위각은 증가했다. Fig. 6을 보면 고각, 방위각에서 크게 차이가 나던 부엽이 균일하게 최소화되면서 고각에 비해 크게 낮았던 방위각 최대 부엽 준위는 오히려 높아진 것으로 보인다. DI의 경우에는 6 dB 이상 감소했다.

Table 2.

Beam performance with optimal weighting (A).

	Before	After
DI (dB)	27.45	21.17
Elevation 3 dB beamwidth (°)	5.26	6.65
Azimuth 3 dB beamwidth (°)	4.82	4.02
Elevation PSL (dB)	-11.35	-15.89
Azimuth PSL (dB)	-20.2	-15.89

Fig. 8은 B 위치에 볼록 최적화 기법을 적용해본 결과이다. 빔 폭 파라미터는 (a = 4.5°, b = 7.5°)로 A와 동일하게 설정하였다. 적용 전 B 위치 메인 빔이 기울어져 있지 않아 적용 후에도 메인 빔 형상의 변화는 A에 비해 크지 않았다.

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Fig. 8.

(Color available online) Comarison of beampatterns with optimal weighting.

Table 3을 보면 DI가 감소하고 방위각과 고각 3 dB 빔 폭은 모두 증가했다.　최대 부엽 준위의 경우에는 방위각과 고각 모두 크게 감소했는데, Fig. 8를 통해서 이를 확인할 수 있다. 이 역시 B 위치 빔 패턴의 경우 A에 비해 메인 빔의 장축과 단축이 고각, 방위각 축과 거의 일치하므로 메인 빔의 형상이 상대적으로 크게 변하지 않은 것이 원인이라고 생각된다.

Table 3.

Beam performance with optimal weighting (B).

	Before	After
DI (dB)	31.41	28.13
Elevation 3 dB beamwidth (°)	6.03	6.27
Azimuth 3 dB beamwidth (°)	3.22	3.38
Elevation PSL (dB)	-13.75	-24.72
Azimuth PSL (dB)	-13.38	-24.72

본 논문의 목적인 조향 방위별 빔 성능 균일화를 위해 그림 Fig. 5의 B 위치 방위각의 13개 조향 빔을 예시로 적용하였다. 13개의 조향 빔은 모두 조향 방향(방위각:0°, 고각:‑24° ~ 48°)의 방위각 기준으로 배열 중앙에 위치해 빔 성능 편차 크지 않은 편이다.빔 폭 파라미터는 총 두 개(a = 4.0°, b = 7.0°)와 (a = 4.5°, b = 7.5°)를 각각 적용해 보았다. Table 4의 빔 성능 표준 편차를 보면, 두 경우 모두 DI의 표준 편차가 소폭 감소했고 특히 고각 3 dB 빔 폭과 최대 부엽 준위의 표준 편차가 많이 감소했음을 확인할 수 있다. 방위각 3 dB 빔 폭과 최대 부엽 준위의 표준 편차가 소폭 증가하였다. 곡면 배열에서 고각 방향 경계로 향할수록 고각 빔 폭이 배열 중심에 비해 점차 커지는데, 이로 인해 배열 경계 조향 빔 경우 고각 빔 폭이 크게 줄어들면서 부엽은 상대적으로 적게 감소하게 된다. 이로 인해 최대 부엽 준위의 표준 편차는 소폭 증가한 것으로 보인다.

Table 4.

Comparison of beam performance difference with optimal weighting (13 steering beams).

		( $a = 4.0 °, b = 7.0 °$ )		( $a = 4.5 °, b = 7.5 °$ )
		Before	After	Before	After
DI (dB)	Average	30.76	26.51	30.76	27.52
	Standard deviation	0.65	0.55	0.66	0.64
	Range (max-min)	2.18	1.92	2.18	2.16
Elevation 3 dB beamwidth (°)	Average	6.40	6.25	6.40	6.42
	Standard deviation	0.39	0.09	0.39	0.15
	Range (max-min)	1.32	0.27	1.32	0.46
Azimuth 3 dB beamwidth (°)	Average	3.21	3.19	3.21	3.29
	Standard deviation	0.014	0.087	0.014	0.089
	Range (max-min)	0.047	0.296	0.047	0.291
Elevation PSL (dB)	Average	-14.36	-22.05	-14.36	-23.61
	Standard deviation	1.38	0.91	1.38	1.08
	Range (max-min)	4.59	2.98	4.60	3.55
Azimuth PSL (dB)	Average	-13.62	-22.05	-13.62	-23.61
	Standard deviation	0.25	0.91	0.25	1.08
	Range (max-min)	0.81	2.97	0.81	3.55

전체적으론 성능 편차가 크지 않은 조향 빔들임에도, 전체 성능(DI, 3B Beam width, PSL)의 표준 편차 합이 2.68에서 2.54로 줄어들었다. 게다가 Fig. 8 예시와 같이 부엽이 균일하게 최소화되면서 최대 부엽이 크게 줄어 최대 부엽 준위 편차는 실질적으론 영향이 줄어들 것으로 생각된다. 또한, 조향 빔마다 다른 $a, b$ 를 설정하면 편차를 더욱 줄일 수 있을 것으로 보이는데 특히, 메인 빔의 형상이 기울어지는 배열 경계의 조향 빔에 적용 시에 배열 중심과 다른 $a, b$ 를 설정하면 더욱 효과적일 것으로 생각된다.

하지만, 모든 결과에서 빔 폭 증감에 상관없이 가중치 적용 후에 지향 지수가 떨어지는 경향을 확인할 수 있었다. 이는 최대 부엽이 사실상 없어지고 모든 부엽이 균일하게 낮아진 결과로 판단된다. 그러므로, 다음 장에서는 이 문제를 해결하기 위한 하나의 방법으로 목적함수에 쉐이딩 함수를 적용하는 방법을 제안한다.

V. 쉐이딩 함수를 이용한 볼록 최적화 기법

기존 기법 적용 시 모든 배열 응답이 동일하게 최소화되면서 균일한 부엽을 형성하게 되고, 이로 인해 지향 지수가 하락하게 되는 문제가 있었다. 이를 해결하기 위한 방법으로 쉐이딩 함수를 이용한 볼록 최적화 빔 형성 기법을 제안한다. 쉐이딩 함수를 이용한 기법의 수식은 다음과 같이 정의된다.

(8)

\underset{w}{minimize} \max (| P (ϕ, θ) | ∙ f (ϕ, θ)), (\frac{ϕ^{2}}{a^{2}} + \frac{θ^{2}}{b^{2}} ≧ 1) subject to P (ϕ_{0}, θ_{0}) = 1 .

식의 형태는 Eq. (6)과 동일하고 Eq. (8)의 첫 번째 식에 $f (ϕ, θ)$ 가 새롭게 추가되었다. $f (ϕ, θ)$ 는 𝜙, 𝜃가 $(ϕ_{0}, θ_{0})$ 에서 멀어질수록 값이 커지는 함수이다. 여기서 𝜙와 𝜃는 조향 방향( $ϕ_{0}, θ_{0}$ )을 기준으로 하는 상대적인 각도이다. 즉, 조향 방향인 $(ϕ_{0}, θ_{0})$ 에서 멀어질수록 배열 응답을 더욱더 최소화하도록 가중치를 두어 $(ϕ_{0}, θ_{0})$ 에서 멀어질수록 부엽 준위가 줄어드는 빔을 형성한다. 즉, 모든 배열 응답을 균일하게 최소화하는 것이 아닌 쉐이딩 함수에 맞춰 배열 응답을 최소화하게 하는 기법이다.

곡면 배열의 센서 200개로 이뤄진 부배열에 제안 기법을 적용해 보았으며 이때 쉐이딩 함수는 유클리드 거리 공식 $(f (ϕ, θ) = \sqrt{(ϕ - ϕ_{0})^{2} + (θ - θ_{0})^{2}}$ 을 사용하였다. Table 5을 보면 최대 부엽 준위가 증가하면서 DI가 기존 볼록 최적화 기법에 비해 향상됨을 확인할 수 있다. 아래 Fig. 9를 보면 적용 결과 부엽이 조향 방향에서 멀어질수록 점차 줄어드는 형상의 빔을 형성함을 확인할 수 있다.

Table 5.

Comparison of beam performance using shading function.

	Convex optimization method	Shading function
DI (dB)	26.48	27.26
Elevation beamwidth (°)	8.3	8.41
Azimuth beamwidth (°)	8.06	8.11
Elevation PSL (dB)	-26.69	-22.01
Azimuth PSL (dB)	-26.84	-21.76

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Fig. 9.

(Color available online) Comparison of beam pattern using shading function.

VI. 결 론

본 연구에서는 곡면 배열의 조향 방위 별 빔 성능 편차를 줄이기 위해 볼록 최적화를 이용한 최적 가중치 추정법을 곡면 배열에 적용하였다. 곡면 배열 특성에 맞춰 원하는 빔 패턴의 방위각, 고각 빔 폭과 관련 있는 빔 폭 파라미터 $a, b$ 설정을 통해 조향 빔의 크기를 조절할 수 있는 기존 볼록 최적화 기법을 적용했다. 이를 조향 빔의 성능을 조절하여 3 dB 빔 폭 편차를 줄일 수 있었다. 그러나, 곡면 배열 경계의 조향 빔의 경우 메인 빔 형상 자체에 차이가 있어 동일하게 파라미터를 설정해주어도 최적화 전후 변화 경향에 차이를 보였다. 이로 인해, 배열 경계나 조향 빔 형상 자체에서 크게 차이를 보이는 경우 파라미터 설정을 달리해주거나 최적화 문제를 변형해야 하는 것은 한계이자 향후 연구 과제이다.

또한, 모든 영역의 배열 응답을 균일하게 최소화하는 볼록 최적화 기법의 특징으로 균일한 부엽의 빔 패턴이 형성되게 되었다. 이로 인해 지향 지수가 하락하게 되는 문제가 있었고 문제를 해결하기 위한 방법으로 쉐이딩 함수를 이용한 볼록 최적화를 개발하여 적용하였다. 적용 결과, 쉐이딩 함수에 맞춰 부엽 준위가 중심에서 멀어지면서 점차 떨어지는 형태로 변화하고 지향 지수가 높아지는 것을 확인했으므로 이 방법을 통해 빔 성능을 균일하게 하면서 지향 지수를 최대한 유지할 수 있는 가능성을 확인하였다.

Acknowledgements

본 논문은 국방과학연구소의 지원(UD190004DD)에 의해 수행되었음.

References

T. I. Kwon, "Performance analysis of sensor selection methods for beam steering direction of non-linear conformal array" (in Korean), J. Acoust. Soc. Kr. 40, 391-399 (2021).

K. Lee, D. Shin, J. S. Lim, W. Hong, and Y. Ha, "Shape design of conformal array using the beam pattern synthesis" (in Korean), J. Acoust. Soc. Kr. 40, 347-358 (2021).

H. L. Van Trees, Optimum Array Processing: Part IV of Detection, Estimation, and Modulation Theory (John Wiley & Sons, New York, 2002), pp. 710-916.

T. A. Wettergren, J. P. Casey, and R. L. Streit, "A numerical optimization approach to acoustic hull array design," J. Acoust. Soc. Am. 112, 2735-2741 (2002). 10.1121/1.151898212508993

J. H. Kim and K. M. Kim, "An optimal beamforming technique for conformal array" (in Korean), Proc. JKIICE, 43-46 (1999).

P. Jorna, H. Schippers, and J. Verpoorte, "Beam synthesis for conformal array antennas with efficient tapering," Proc. 5^th Europe Workshop, 1-4 (2007).

Y. Ma and Z. He, "Beampattern optimization for a conformal projecting array of transducers with baffle effect and mutual coupling among elements," Proc. Acoustics '08, 985-989 (2008).

W. Tang, Y. Zhou, and P. Zhang, "Broadband power pattern synthesis for conformal arrays," Proc. 7th ICNC, 2019-2022 (2011). 10.1109/ICNC.2011.6022428

L. Zou, J. Laseby, and Z. He, "Beamformer for cylindrical conformal array of non-isotropic antennas," Adv. Electr. Comput. Eng. 11, 39-42 (2011). 10.4316/AECE.2011.01006

M. Rasekh and S. R. Seydnejad, "Design of an adaptive wideband beamforming algorithm for conformal array," IEEE COMML, 18, 1955-1958 (2014). 10.1109/LCOMM.2014.2357417

C. L. Dolph, "A current distribution for broadside array which optimizes the relationship between beam width and side-lobe level," Proc. IRE, 34, 335-348 (1946). 10.1109/JRPROC.1946.225956

W. P. M. N. Keizer, "Fast low-sidelobe synthesis for large planar array antennas utilizing successive fast Fourier transforms of the array factor," IEEE Trans. Antennas Propag. 55, 715-722 (2007). 10.1109/TAP.2007.891511

D. W. Boeringer, D. H. Werner, and D. W. Machuga, "A simultaneous phased array synthesis," IEEE Trans. 53, 356-371 (2005). 10.1109/TAP.2004.838800

K. Chen, X. Yun, Z. He, and C. Han, "Synthesis of sparse planar arrays using modified real generic algorithm," IEEE Trans. Antennas Propag. 55, 1067- 1073 (2007). 10.1109/TAP.2007.893375

Y. Chen, S. Yang, and Z. Nie, "The application of a modified differential evolution strategy to some array pattern synthesis problems," IEEE Trans. Antennas Propag, 56, 1919-1927 (2008). 10.1109/TAP.2008.924713

M. M. Khodier and C. G. Christodoulou, "Linear array geometry synthesis with minimum sidelobe level and null control using particle swarm optimization," IEEE Trans. Antennas Propag. 53, 2674-2679 (2005). 10.1109/TAP.2005.851762

H. Lebret and S. Boyd, "Antenna array pattern synthesis via convex optimization," IEEE TSP, 45, 526-532 (1997). 10.1109/78.558465

S. Boyd and L. Vandenberghe, Convex Optimization (Cambridge University Press, Cambridge, 2004), pp. 127-214.

M. Grant, S. Boyd, and Y. Ye, "CVX: MATLAB Software for Disciplined Convex Programming, Version 2.0 Beta" (Available from: http://cvxr.com/cvx/, 2013).

The Journal of the Acoustical Society of KoreaISSN:1225-4428(Print) 2287-3775(Online)한국음향학회

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Beam pattern analysis for beam homogenization of conformal array sonar

ABSTRACT

MAIN

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Fig. 1.

(Color available online) Optimal beamforming in a line array using convex optimization method.

Fig. 2.

(Color available online) A conformal array of sphere shape cut.

(6)

(7)

Fig. 3.

(Color available online) Beam pattern for a sub-array of conformal array.

Fig. 4.

(Color available online) Coordinate for beamforming.

Fig. 5.

(Color available online) Beam power of conformal array by steering direction.

Table 1.

Comarison of beam performance at A, B.

Fig. 6.

(Color available online) Comarison of beampatterns at A, B.

Fig. 7.

(Color available online) Comarison of beampatterns with optimal weighting.

Table 2.

Beam performance with optimal weighting (A).

Fig. 8.

(Color available online) Comarison of beampatterns with optimal weighting.

Table 3.

Beam performance with optimal weighting (B).

Table 4.

Comparison of beam performance difference with optimal weighting (13 steering beams).

(8)

Table 5.

Comparison of beam performance using shading function.

Fig. 9.

(Color available online) Comparison of beam pattern using shading function.

Acknowledgements

References

(Color available online) Comarison of　beampatterns at A, B.

(Color available online) Comarison of　beampatterns with optimal weighting.