I. 서 론
II. 본 론
2.1 계산 예 1: 평판 피스톤에 의한 음장 해석
2.2 계산 예 2: 구면 렌즈에 의한 음장해석
2.3 계산 예 3: 비구면 렌즈에 의한 음장해석
III. 결 론
I. 서 론
최근 반도체 공정의 고집적화 및 미세화가 가속됨에 따라, 접합부 및 내부 구조에서 발생하는 초소형 결함을 정밀하게 검출할 수 있는 비파괴 검사 기술의 중요성이 크게 증가하고 있다. 특히 수십 마이크로미터 이하의 결함을 탐지하기 위해서는 높은 공간 분해능을 가지는 초음파 이미징 기술이 요구되며, 이에 따라 50 MHz 이상의 고주파 초음파 트랜스듀서에 대한 수요가 지속적으로 증가하고 있다.
고주파 초음파는 짧은 파장을 기반으로 우수한 해상도를 제공하지만, 동시에 감쇠 증가와 초점심도(Depth of Focus, DOF)의 감소라는 한계를 가진다. 반도체 결함 검사와 같은 응용에서는 일정 깊이 범위 내에서 안정적인 이미징을 수행하기 위해 넓은 DOF가 요구되며, 동시에 결함의 위치를 정밀하게 식별하기 위해 좁은 빔 직경(Beam Diameter, BD)이 필요하다. 그러나 이러한 요구 조건은 일반적으로 상충 관계를 가지므로, 이를 동시에 만족시키는 설계는 매우 도전적인 문제이다.
이러한 한계를 극복하기 위해 음향렌즈가 널리 활용되고 있으며, 렌즈의 형상 및 재질 설계를 통해 초음파 빔의 집속 특성을 효과적으로 제어할 수 있다. 따라서 고주파 초음파 시스템에서는 트랜스듀서 설계뿐만 아니라 렌즈 설계 역시 핵심적인 요소로 간주된다.
한편, 음향렌즈 설계를 위한 해석 도구로는 ANSYS, COMSOL과 같은 상용 패키지가 널리 사용되고 있으며,[1,2] 이들은 유한요소법(Finite Element Method, FEM), 경계요소법(Boundary Element Method, BEM) 등의 기법을 기반으로 높은 정확도의 해석을 제공한다. 그러나 이러한 방법들은 대규모 계산 자원과 긴 해석 시간을 요구하며, 소프트웨어 비용 또한 매우 높아 설계 반복 및 최적화 과정에 있어 실용적인 제약이 존재한다.
반면, k-Wave와 같은 오픈소스[3] 기반 해석 도구는 상대적으로 접근성이 뛰어나고 계산 효율이 높다는 장점이 있으나, 주로 유체 기반 음향 전파 해석에 초점이 맞춰져 있어 고체 음향렌즈에서 발생하는 모드 변환 현상을 정확히 반영하는 데에 한계가 있다. 이러한 제약은 실제 고체 렌즈를 사용하는 초음파 시스템 설계에서 중요한 오차 요인으로 작용할 수 있다.
따라서 고주파 초음파 시스템에서 요구되는 DOF 및 BD 특성을 만족시키기 위해, 계산 효율성과 정확성을 동시에 확보할 수 있는 설계 접근법이 필요하다. 본 연구에서는 고체 음향렌즈 설계를 위해 주파수 의존성을 고려한 레이 추적법 기반의 음향 해석 기법을 제안한다. 제안된 방법은 매질 경계면에서의 모드 변환 영향뿐만 아니라, 주파수 특성도 고려함으로써 목표 초점 영역에서 음장 예측이 가능하고, 이를 기반으로 최적 렌즈 형상을 도출할 수 있다.
II. 본 론
Fig. 1은 본 연구에서 해석하고자 하는 음향렌즈 시스템을 레이 경로로 나타낸 것이다. 빨간색 부분은 렌즈 영역에서 레이를, 파란색 부분은 굴절에 의해 초점(z = –9.2 mm)에 모아지는 레이를 나타낸 것이다. 보통 반도체 검사를 위한 주사음향현미경(Scanning Acoustic Microscopy, SAM) 장비에서는 물속에서 검사를 실시하고 있으므로 파란색 영역의 매질은 물이라 하고 계산을 수행하였다.
레이 추적법이 많이 사용되는 건축음향이나 수중음향에서는 일반적으로 일정 크기를 갖는 구체를 수신점에 위치시켜 여기에 도달하는 레이에 대해 레이 밀도 등을 계산하여 음장을 구하고 있다. 이는 음원에서 방출되는 레이가 벽, 천장, 바닥 등에 의해 반사되어 생기는 여러 복잡한 경로를 고려하는 효과적인 방법이다. 그러나 반도체 검사를 위한 SAM 장비에서 사용하는 음향렌즈가 부착된 트랜스듀서의 경우에는 주변의 벽면 등에 의한 반사 없이 직접 수신점에 도달하는 파동만 고려하기 때문에 기존의 레이 추적법을 적용하기 어렵다.
본 연구에서 제안하는 방법에 대한 개념을 Fig. 2에 나타내었다. 좌표 z = 0면에서 생성된 레이는 렌즈와 물 경계면에서 굴절되어 Snell’s law 에 의해 굴절각이 구해지며, 이때 모드 변환 현상도 고려된다.[4,5] 굴절된 레이가 수신점에 미치는 영향은 Lambert’s cosine law를 적용하여 굴절된 레이 벡터(주황색)와 수신점 벡터(파란색)가 이루는 각에 cosine을 취한 값으로 하여 회절효과를 고려하였다. 따라서 수신점에서의 음장은
로 계산된다. 여기서 은 전체 레이의 수이고, , , 는 각각 번째 레이의 초기 위치, 모드 변환, Lambert’s cosine law에 따른 가중치, 는 주파수, 그리고 , 는 각각 번째 레이의 초기 위치에서 수신점까지 도달하는 시간과 렌즈면에서 수신점까지의 거리를 가리킨다. 초기 위치가중치 는 초기 레이 발생면 (z = 0)에서 번째 레이가 차지하는 면적에 비례하며, 는 이다. Eq. (1)에서 알 수 있듯이 생성된 모든 레이는 수신점의 음장에 영향을 미치고, 또한 레이가 수신점에 도달하는 시간을 고려함으로써 각 레이의 간섭효과도 포함하고 있다. 생성하는 레이의 수는 많을수록 정확도가 증가하나 계산시간이 문제가 된다. 본 연구의 음향렌즈 해석에서는 초점부근 영역에서 인접하는 레이의 경로차가 파장의 1/32 이하가 되도록 하고, 또 각 레이가 차지하는 면적이 같도록 하여 레이의 위치와 개수를 정하였다.
2.1 계산 예 1: 평판 피스톤에 의한 음장 해석
Fig. 3과 같은 평판 피스톤에 의한 음장은 적분 형태로 Eq. (2)와 같은 해석적인 해가 존재한다. 𝜃=0인 경우, 축방향 음장은 Eq. (3)의 간단한 수식으로 표현된다. 따라서 이는 여러 수치해석 기법을 테스트하는 데 많이 사용되고 있는 예제이다.
여기서 𝜔, k는 각속도와 파수, , 는 각각 매질의 밀도, 음속이며 는 피스톤 표면(S)의 속도 분포로 본 예제에서는 일정한 값으로 하였다.
Fig. 4는 음향렌즈의 재료로 많이 사용되는 fused silica를 매질로 하여, 본 연구의 기법으로 계산한 축방향 음장과 Eq. (3)의 결과를 비교한 것이다. 두 개의 축방향 음장은 근거리에서는 Fresnel, 원거리에서는 Fraunhofer 회절 현상을 보이고 있다. 본 예제에서는 피스톤을 동일 면적의 링으로 분할하고 링의 두께로 링의 길이를 나누어 그 정수값을 취하여 해당 링이 갖는 레이의 수로 하였으며, 이로부터 계산된 전체 레이의 수는 502,650개이다. 매질 fused silica의 음속은 5,965 m/s, 그리고 피스톤의 지름()은 6 mm이다. 따라서 주파수 50 MHz인 경우 파장은 119.3 um이다. 원거리 음장을 판단하는 거리[6]
[m]
도 시뮬레이션 결과인 74.98 mm와 잘 맞고 있음을 알 수 있다.
2.2 계산 예 2: 구면 렌즈에 의한 음장해석
3가지 경우의 구면 렌즈에 대해 레이 추적 시뮬레이션을 수행하여 초점 부근의 음장을 계산하였다. 렌즈의 재질은 사파이어, 그리고 물속에서 검사가 이루어지는 것을 고려하여 매질은 물로 하였다. 시뮬레이션에 사용된 파라메터 값들은 Tables 1, 2에 나타내었다. 렌즈의 곡률반경(R)과 초점거리(F) 사이에는 다음의 관계가 있다.
Table 1.
Sound speeds and densities of the sapphire and water.
| Material | Sound speed [m/s] | Density [kg/m3] |
| Sapphire | = 11,250 | = 3,980 |
| = 6,400 | ||
| Water | = 1,483 | = 1,000 |
Table 2.
Input parameters used in ray tracing simulation.
| Case |
Aperture [mm] |
Radius of curvature [mm] |
Focal length [mm] |
Frequency [MHz] |
| 1 | 3 | 8.07 | 9.3 | 110 |
| 2 | 6 | 11.29 | 13 | 50 |
| 3 | 5.5 | 11.29 | 13 | 115 |
3가지 경우의 렌즈에 대해 시뮬레이션 결과를 Figs. 5, 6, 7에 각각 나타내었다. 맨 위 그림은 초점 부근에서 에너지 분포를 3차원으로 나타낸 것이다. 그림에서 분홍색 평면은 최대값 대비 –3 dB 감소 평면을 나타낸 것이다. 가운데 그림은 축방향 분포를 나타낸 것이다. 이로부터 시뮬레이션으로 얻어진 초점거리와 DOF를 알 수 있다. 맨 아래 그림은 횡방향 분포를 나타낸다. 이로부터 초점에서의 BD를 알 수 있다. 초점거리(F)는 Eq. (4)로 구한 값과 시뮬레이션 결과가 매우 잘 일치하고 있음을 알 수 있다. 근사식이지만 이론적인 DOF와 BD는 다음과 같다.[7]
여기서 , 이고, 𝜆와 는 각각 파장과 렌즈 구경을 가리킨다.
Table 3은 시뮬레이션을 통해 계산한 결과와 이론식으로 얻은 결과를 비교, 정리한 것이다. 초점거리는 거의 100 % 일치하고, DOF는 85 %, BD는 95 % 이상 일치하고 있다. 또한 구경이 클수록 DOF와 BD가 작아지는 것을 알 수 있다. 일반적으로 음향렌즈는 DOF는 크고, BD는 작도록 설계한다. DOF가 클수록 검사영역이 넓어지고, BD가 작을수록 횡방향 해상도가 증가하기 때문이다. 그리고 주파수가 증가할수록 DOF와 BD가 반비례로 감소하고 있음을 알 수 있다.
Table 3.
Comparison of the simulation and theoretical results.
| Case | Simulation [mm] | Theoretical [mm] | ||||
| F | DOF | BD | F | DOF | BD | |
| 1 | 9.272 | 0.889 | 0.042 | 9.3 | 1.008 | 0.043 |
| 2 | 12.953 | 0.947 | 0.064 | 13 | 1.091 | 0.066 |
| 3 | 12.989 | 0.483 | 0.030 | 13 | 0.570 | 0.031 |
2.3 계산 예 3: 비구면 렌즈에 의한 음장해석
넓은 DOF와 작은 BD를 갖는 비구면 렌즈를 문헌[8]을 참고하여 설계해 보았다. 본 예제에서는 렌즈 면을 150개의 링으로 분할하였고, 각 링의 곡률반경은 초점거리는 9.0 mm ~ 9.5 mm 범위가 되도록 하였다. 사용 주파수는 200 MHz, 렌즈 구경은 6 mm이다.
Fig. 8에 시뮬레이션 결과를 나타내었다. 축방향 음장 분포는 구면 렌즈 경우와는 다른 모양을 보이고 있음을 알 수 있다. DOF는 1.055 mm, BD는 최대 0.016 mm로 계산되었다. 비록 여기에서 계산한 비구면 렌즈는 150개의 서로 다른 곡률반경을 가진 링으로 되어있어 제작 편의성 등이 고려되지 않았지만, 하나의 계산 사례로서 도출된 DOF와 BD는 구면 렌즈로는 얻기 힘든 결과이다.
III. 결 론
주파수 의존성을 고려한 새로운 레이 추적법을 제안하였다. 제안된 방법의 타당성을 평면 피스톤 진동에 의해 생성된 음장과의 비교를 통해 검증하였다. 그리고 3가지 구면 렌즈에 대하여 시뮬레이션을 수행하고 초점 부근의 음장을 3차원적으로 분석하였으며, 그 결과 DOF는 이론값 대비 약 85 %, BD는 95 % 이상의 정확도를 보였다.
비록 오차의 원인 파악이 부족하고, 비용의 제약 때문에 정확도가 높은 상용 FEM, BEM 패키지를 이용한 방법과 비교가 없어 아쉽지만, 향후 트랜스듀서 및 음향렌즈 제작과 이에 따른 실험을 통해 초점심도 및 빔 직경에 대한 검증을 수행할 예정이다.
비구면 렌즈에 대한 시뮬레이션을 통해, 기존 구면 렌즈로는 구현이 어려운 넓은 초점심도를 갖는 음향렌즈의 설계 및 제작 가능성을 확인하였다. 제안된 레이 추적법은 벽, 천장, 바닥에 의한 반사가 없는 환경에서 음장해석에 효과적이며, 초음파 기반 반도체 웨이퍼 비파괴 검사 장비의 핵심 구성요소인 트랜스듀서 및 음향렌즈 설계에 유용하게 적용될 수 있다. 본 연구의 모든 수치 해석은 파이썬을 기반으로 구글 코랩 환경에서 수행되었다.
