Research Article

The Journal of the Acoustical Society of Korea. July 2021. 347-358
https://doi.org/10.7776/ASK.2021.40.4.347

ABSTRACT


MAIN

  • I. 서 론

  • II. 곡면 배열의 형상 및 특징

  • III. 형상 설계변수 및 최적화 목적함수의 선택

  • IV. 종합목적함수를 이용한 최적화

  • V. 결 론

I. 서 론

곡면 배열은 곡률이 있는 곡면에 센서를 배열한 것으로 평면 배열과 비교해 몇 가지 장점을 가진다.[1] 우선 평면 배열은 조향 방위에 따라 배열 이득이 달라지나 곡면 배열은 곡면의 형상에 의존하여 배열 이득을 조정할 수 있다. 또한 평면 배열은 빔 조향 방향이 end-fire로 갈수록 빔 성능이 떨어지는 특성상 조향 영역이 최대 ± 60° 이내로 제한되지만 곡면 배열은 이론상 넓은 조향이 가능하다. 주파수 측면에서도 곡면 배열은 평면 배열에 비해 사용 밴드 폭이 넓어질 수 있다. 피탐 측면에서는 곡면 배열은 곡면 형상으로 제작이 되어 표적 반사가 용이한 평면 배열보다 표적 강도가 작은 장점이 있다. 무엇보다도 곡면 배열의 가장 큰 장점은 주어진 소나 탑재 공간을 최대한 효율적으로 사용할 수 있다는 것이다.

이러한 여러 장점에도 불구하고 곡면 배열을 체계에 적용할 때 해결해야 할 문제점이 존재한다. 우선 곡면 배열은 배열에 정착되는 전체 센서 개수가 평면 배열과 비교해 늘어나고, 빔 조향 방위도 조밀해져서 대용량의 정보처리를 수행할 수 있는 시스템이 필요하다. 그리고 곡면 배열은 조향 빔마다 해당 영역의 기하학적 특징이 달라지기 때문에 빔 특성을 균일하게 하는 것이 매우 어렵다. 이는 빔 조향 방위 정보를 이용하여 후처리를 수행할 때, 후처리 신호처리 알고리즘을 복잡하게 만든다. 그러므로 곡면 배열의 형상을 만들 때 각 조향 빔의 빔 특성을 고려하여 설계하는 것이 필요할 것이다.

본 논문에서는 이중 타원구 형상의 곡면 배열에 대해 최적의 빔 특성을 갖는 형상 파라미터를 추출하는 방법론을 연구했다. 곡면 배열에서 이상적인 최적의 빔 특성이란 각 조향 빔이 목적에 맞는 최대의 빔 성능을 내면서, 각 빔 특성이 서로 균일하게 구성된 것으로 생각할 수 있다. 하지만 현실적으로 위의 정의를 구현하는 것은 쉽지 않다. 우선 빔 특성은 하나의 물리량으로 정의되지 않는다. 지향 지수, 빔 해상도, 최대부엽준위 등 여러 가지 정량적인 물리량으로 표현된다. 이 중에서 무엇을 중요한 특성으로 설정할지는 주어진 문제에 따라 달라진다. 또한 빔 특성이 설정되었다고 해도, 배열의 형상이 주어져 있는 상황에서 해당하는 빔 특성의 최대 성능과 균일성을 동시에 만족시키는 것은 매우 어렵다. 이산적인 배열 구조에서 물리적으로 조향 방위 별 빔 특성은 해당 배열 영역의 기하학적인 구조에 의존하는데, 모든 조향 빔에 대해 동일한 기하학적 구조를 만드는 것은 불가능하다. 구형의 배열구조라고 하더라도 센서를 어떤 식으로 배치하느냐에 따라 배열 영역의 빔 특성은 달라진다.

본 연구에서는 이와 같은 문제점을 고려하여 센서의 위치와 센서의 개수는 고정하고, 곡면 배열의 형상 파라미터만을 최적화하는 방법을 생각했다. 빔 특성의 평균과 분산의 중요도를 모두 고려하는 sharp 지수를 활용하여 목적함수를 정의하였다. 여러 종류의 빔 특성의 중요도를 고려하기 위해 이 목적함수를 가중치 목적함수로 확장하였고, 이중 타원체 형상에 대해 최적의 형상 파라미터를 추출했다.

곡면 배열에 대한 국내 유사 연구로는 구형 배열에서 센서 배치 및 센서 개수 최적화에 대한 연구가 존재한다.[2,3] 이 연구에서는 구면 배열 트랜스듀서의 방사특성에 대한 해석[2]을 바탕으로 등각 및 등간격 배열 형태에 대해 고각 및 방위각 방향 음원 간격 및 각각 방향의 음원 개수와 관련된 파라미터에 대한 최적화를 수행했다.[3] 조향 빔은 1개이며 최적화를 위한 목적함수로는 최대부엽준위를 사용했다. 한편 안테나 분야에서는 직선 배열의 빔패턴과 유사한 성능을 내도록 곡선 배열의 최적 소자 위치 선정에 관한 연구[4]가 존재한다. 이 연구들은 곡선의 형상을 설계하는 것이 아니라, 빔 패턴 합성을 위한 소자 위치 선정 및 가중치 역산에 대한 연구이기 때문에 본 연구주제와 성격은 다르다.

국외에서는 곡면 배열에 대한 연구는 안테나 분야에서 1950년대에 시작되었다.[5] 앞서 기술한 곡면 배열의 장점을 이용하기 위해 1960년대와 1970년대에 곡선배열, 원통형 배열, 원추형 배열에 대한 초기 연구가 진행되었다. 하지만 전산 자원의 한계 때문에 일반적인 곡면 배열에 대해서는 빔 패턴 성능 분석이 매우 어려웠기 때문에, 곡면 배열에 대한 연구는 1990년대까지 침체기를 겪었다.[6] 1990년대 컴퓨팅 기술의 발전과 함께 곡면배열에 대한 빔 패턴 성능 분석에 대한 연구가 활발해졌다. 빔 패턴 성능 분석의 주류 연구 주제는 곡면 배열의 형상과 센서 배치가 주어졌을 때, 최적 빔을 형성하기 위한 센서 별 가중치 인자를 찾는 방법에 대한 것이다.[7] 최적 빔을 어떻게 정의할 것인지, 목적함수와 제한 조건은 어떻게 설정한 것인지, 최적화 문제는 어떤 방법으로 풀 것인지에 따라 다양한 연구가 수행되었다. 특히 최근에 센서 가중치 최적화,[8,9,10,11] 센서 단일 빔패턴을 반영한 최적화 및 빔패턴 분석[12,13,14,15,16]의 연구가 안테나 분야에서 수행되었다. 하지만 위 연구에서 사용된 배열의 크기는 100개 미만의 소용량이었으며 단일 조향빔에 대한 빔 패턴 분석만 수행되었다. 본 연구 주제처럼 대용량의 배열의 형상 설계에 대한 국외 연구는 찾지 못했다.

한편 수중 운동체에 적용된 곡면 배열은 포물선 배열, 원통형 배열, 구형 배열, 포물면 배열 등이 존재한다.[17,18] 이 중에서 포물선 배열[18]은 수중운동체 선수의 상부 배치 공간의 형상에 맞춰서 설계되어 배열의 주축이 수평선을 중심으로 상부 20도를 지향하도록 설계되었다.

과거 국내외 연구들은 모두 최적화 알고리즘을 이용하여 설계 변수 최적화를 수행했다. 위 연구에서는 사용된 배열의 센서 개수가 소량이고 다량의 조향 빔을 사용하지 않기 때문에 다변수 최적화를 적용하는 것이 용이했으나, 본 연구대상인 곡면 배열은 센서 개수가 최소 1,000개가 넘고 조향 빔의 개수도 수 백에서 수 천 개 이기 때문에 일반적인 최적화 알고리즘을 적용하는 것은 계산 시간을 고려할 때 비현실적이다.

본 연구에서는 센서 위치와 개수에 대한 최적화가 아니라, 배열 형상에 대한 최적화를 수행했다. 또한 일반적인 최적화 알고리즘을 적용하기보다는 빔 특성 분석을 통해 설계변수를 2개로 줄이고, 2개로 감소된 설계 변수에 모든 영역에서 목적함수를 직접 계산하는 방식으로 최적화를 수행했다. 논문에는 싣지는 않았지만, 광대역 알고리즘의 일종인 Simulated annealing을 이용해도 동일한 결과를 주는 것을 확인하였다.

II장에서는 이중 타원구 형상에 대한 소개와 설계변수를 기술했다. III 장에서는 설계 변수 분석을 통해 설계 변수를 2개로 줄이는 과정을 기술했다. 또한빔 특성 최적화를 위한 여러 목적함수를 소개하였다. IV에서는 가중치를 이용한 종합목적함수를 정의하고 최적화 결과를 기술했다. V는 결론이다.

II. 곡면 배열의 형상 및 특징

곡면의 형상은 수학적으로 단일 센서 위치에서 2개의 곡률에 의해 단순하게 정의할 수 있다. 하지만 물리적으로 곡면의 형상은 직육면체의 표면부터 시작하여, 행성 모양, 구면 등등 다양하게 변형될 수 있다. 예를 들어 생수병의 표면, 아령의 표면, 야구공의 표면은 수학적으로는 동일한 다양체에 속하지만 빔성능 관점에서는 전혀 다르다.

본 연구에서는 연구에 주어진 소나 설치 공간[6 m(x) × 5 m(y) × 2.5 m(z)]을 반영하여 아래와 같이 ‘이중 타원구’로 곡면의 현상을 정의했다.

(1)
xa2+y-y03-y02+zc2=1,(yy0),xa2+y-y0b2+zc2=1,(y<y0)

여기서 y축은 함의 종방향에 해당되며, x축은 함의 횡방향에 해당된다. z축은 함의 깊이방향이다. Eq. (1)에서 곡면은 2개의 타원구의 방정식으로 이루어져 있다. a는 소나의 x축(횡방향)에 대한 곡률반지름을 나타내며, b와 3-y0는 y축(종방향)에 대한 상부와 하부의 타원구에 대한 곡률반지름을 나타낸다.

y0는 두 개의 구의 경계면을 나타내며 c는 z방향의 주 곡률 반지름이 된다. Eq. (1)은 위의 4개의 계수를 어떻게 설정하느냐에 따라 구면, 타원구면, 원통형 곡면, 말굽형 곡면 등 여러 가지 형상으로 근사가 가능하다. 예를 들어 c인 경우에는 Eq. (1)은 원통형 곡면과 유사해지며, y0=-2로 놓는 경우에는 타원포물선 곡면과 비슷해진다.

Fig. 1은 그 중 곡면 포물면 형, 평면 포물면 형, 곡면 타원구 형, 평면 타원구 형을 보여준다. 만약 위 식을 다항식의 2차 형식을 이용하여 일반적인 형태의 곡면으로 정의한다면 포물면, 쌍곡포물면 등도 표현이 가능하다. 물론 이경우에는 설계 계수가 증가하는 단점이 있다. 본 연구에서는 Eq. (1)을 곡면 배열의 형상으로 설정하여 연구를 진행하였다.

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Fig. 1.

(Color available online) Examples of shapes for varying parameters. Here each shape is called as (a) curved parabola form, (b) planar parabola form, (c) curved ellipsoid form, and (d) planar ellipsoid form.

한편 곡면 배열의 빔형성을 위해 Fig. 2와 같은 좌표계를 설정하였다. 각각의 단일 센서의 배치는 등각 배치와 유사한 방식으로 진행했다. 우선 배열의 최대의 수평 단면에 대해 단면의 둘레 길이를 반 파장 조건에 맞춰 균등하게 나누었다. 해당 분할 위치가 방위각 별 스테이브의 위치가 된다. 또한 배열의 수직단면에 대해서도 수평단면과 동일한 방식으로 분할하였다. 수직단면의 분할 위치는 고각 별 링의 위치가 된다. 이와 같은 방식으로 분할 하면 링 및 스테이브에서 센서의 개수는 동일하게 된다. 이런 식으로 센서를 배치하는 경우 타원구의 양 극방향으로 갈수록 링의 길이가 매우 작아져서 센서 간 간격이 너무 조밀해질 수 있다. 그렇기 때문에 센서 간 간격은 ‘파장/4’보다 크도록 제한조건을 설정하였다. 이 제한조건을 만족하지 않는 형상은 분석에서 제외하였다.

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Fig. 2.

(Color available online) Coordinate for beamforming.

빔 조향 벡터를 ki(i=1,2,...,ns)라고 할 때, 각각의 빔 조향 벡터에서 활성화되는 센서 영역은 R^i로 표기하도록 한다. 이때 R^i에 속하는 단일 센서의 위치벡터를 Xij(j=1,2,...,n)라고 하고, 단일 센서의 방향 벡터를 nij라고 한다. 이때 R^i에 대한 배열응답(음압)은 아래와 같이 정리할 수 있다.

(2)
Pi(ϕ,θ)=j=1nwjf(nij,k)ejkXijconj(ejkiXij)=j=1nwjf(nij,k)ej(k-ki)Xij,

여기서 f(.)는 단일 센서의 방향성을 나타내는 함수이며 수중소음의 입사 벡터와 단일 센서의 방향 벡터 사이의 각에 의해 결정되는 양이다. 참고로 f(.)는 실수 값을 갖는다. wj는 센서의 가중치를 나타내며 실수 값으로 가정한다. ϕ는 방위각, θ는 고각이며 Fig. 2와 같이 곡면배열의 중심을 원점으로 하는 절대좌표계에서 정의된다.

Eq. (2)로부터 조향 방위 별 여러 빔 성능 인자를 계산할 수 있다. 대표적으로 지향 지수는 배열의 빔 지향성으로부터 얻는 이득을 말한다. 물리적으로 배열에 공간필터를 만들어 주는 것으로 지향 지수의 값이 클수록 수신하는 신호 대비하여 소음 에너지를 감소시키는 효과가 있다. 또 다른 빔 성능인자로서 빔 폭이 있다. 빔 폭은 빔이 유효한 각도를 나타내는 인자로 각도로 표현된다. 2차원 빔에 대해서는 빔의 곡률방향에 대해 빔 폭이 여러 개가 정의될 수 있다. 보통은 서로 직교하는 2개의 방향에 대해서 정의한다. 빔이 회전이 되지 않았다고 할 때, 고각과 방위각 방향이 이에 해당한다. 빔 폭은 정의에 따라서 다르나 일반적으로 3 dB 빔 폭을 널리 사용한다. 최대부엽준위도 주요 빔성능 인자중의 하나이다. 최대부엽준위는 주엽을 제외하고 최댓값을 갖는 부엽의 크기를 나타낸다. 본 연구에서는 이중 형상 최적화를 위한 목적함수로 지향 지수, 고각 빔 폭, 방위각 빔 폭을 사용했다.

III. 형상 설계변수 및 최적화 목적함수의 선택

곡면 배열의 형상을 나타내는 Eq. (1)에서 결정해야 할 미지수인 설계 변수는 4개이다. 배열의 폭에 대한 변수인 a, 배열의 길이 방향 형상에 대한 변수인 b와 경계를 나타내는 y0, 배열의 높이 방향의 주 곡률 반지름을 나타내는 c이다. 형상 배열 최적화의 문제는 목적함수와 주어진 제한 조건에 대해 이 4개의 미지수의 최적값을 구하는 문제로 정의된다. 하지만 이 4개의 미지수 중 굳이 최적화를 수행하지 않아도 빔 성능에 미치는 경향성을 예측할 수 있는 미지수가 존재한다. Fig. 3Fig. 1(a)(b)의 형상에 대해 배열의 폭인 a를 변화시켰을 때의, 조향 방위 별 지향 지수의 변화를 보여준다. 빔의 조향 방향 별 사용된 센서는 전체 센서 중의 70 %이며, 조향 방위와 단일 센서의 방향벡터 간의 내적이 큰 순으로 선택했다. 위 그림을 보면 a의 값이 커질수록 지향 지수 값이 커지는 경향을 확인할 수 있다. 또한 a가 커질수록 지향 지수 분포의 균질성도 좋아지는 것을 알 수 있다. 본 논문에는 싣지는 않았지만 빔 폭도 지향 지수와 마찬가지로 a가 클수록 해상도가 좋아 졌다. 그렇기 때문에 a의 경우는 굳이 최적화를 통해서 찾을 필요가 없이 설계 제한 조건을 만족하는 가장 큰 값을 사용하는 것이 유리할 것이다. 배열이 차지는 부피가 커질수록 배열의 표면적이 커지고 표면적이 커질수록 빔 성능 인자가 향상된다. 빔형성 기법은 수식적으로 면적 요소(또는 센서 위치)에 대한 적분(또는 수열 합)으로 표현되기 때문에 동일한 조건에서 표면적이 클수록 빔 성능이 높아지는 것은 당연한 결과이다. 이와 유사한 결과는 구면 배열에 대한 기존의 최적화 결과에서도 확인할 수 있다.

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Fig. 3.

(Color available online) Directivity Index (DI) of the curved parabola form and the curved ellipsoid form for three values of a as a function of bearing and elevation angle. The colorbars have 3 dB intervals relatively.

또 다른 설계변수인 b는 하부 타원구의 y방향의 주 곡률 반지름과 관련이 있다. b가 크면 클수록 곡면 배열은 말굽형 모양이 되고 b가 작을수록 타원형 모양을 띠게 된다. Fig. 3에서 보면, 최대 지향지수 측면에서는 곡면 포물선 형 모양이 곡면 타원구 형보다 좋다. 하지만 곡면 포물선 형은 방위각이 ± 100° 이상에서 급격하게 빔 성능이 저하되는 것을 볼 수 있다. 이것은 빔 조향 각도가 위 각도 이상이 되면 기하학적으로 곡면배열에 음영구역이 발생하기 때문이다. 이러한 음영 구역을 없애기 위해서는 곡면 타원구 형처럼 하부 부분을 둥글게 만들어 주는 것이 유리하다.

본 연구에서는 유효한 빔 조향 방위각을 –130° ~ 130°로 설정했다. 이외에는 선체의 내외부 구조로 인한 음영 구역이 발생한다고 가정했다. 이 가정을 토대로 곡면 배열의 일부분이 음영 구역에 포함되지 않으면서 타원구의 하부 부분을 최대한 둥글게 만들어 주기 위해서 b의 값은 아래와 같이 설정할 수 있다.

(3)
b=-2-y0sin(-130π/180).

앞서 기술한 바와 같이 a는 소나 탑재 공간의 최대 폭으로 설정하고, b는 Eq. (3)을 이용하여 설정한다면, 곡면 배열의 형상과 관련된 총 4개의 설계 변수는 c와 y0의 두 개로 감소하게 된다.

한편, 최적화 문제를 풀기 위해서는 목적함수와 제한조건을 선정해야 한다. 본 연구에서는 빔 성능의 목적함수로써, 빔 성능 인자의 평균, 거리, sharp 지수[통계학에서 Coefficient of Variation(CV) 의 역수로 정의되는 양으로, sharp 지수는 경제학에서 사용되는 명칭임]를 설정하였다. 평균은 빔 조향 각도에 대한 빔 성능 인자의 평균적인 양을 나타내고, 거리는 빔 조향 각도에 대한 빔 성능 인자의 최대값과 최소값 간의 차이를 나타내며, sharp 지수는 평균/거리로 정의되는 양이다. 즉, sharp 지수는 상대적인 평균을 나타낸다.

분산 대신에 거리를 사용한 이유는 분산은 데이터 간에 평균적인 거리개념이 들어가 있어서 빔 성능의 절대적인 격차를 반영하지 못하는 단점이 있어서이다. 그래서 보다 강한 조건으로 거리를 사용했다.

빔 성능 인자는 지향 지수, 방위각의 빔 폭, 고각의 빔폭을 선택했다. 정량적으로 빔 폭은 작을수록 좋은 반면, 지향 지수는 클수록 좋은 성능 인자이기 때문에, 모든 문제를 최소화 문제로 취급하기 위해 지향 지수에 –1을 곱해서 음수로 만들어줬다. 마찬가지의 이유로 sharp 지수를 정의할 때도 최소화 문제로 바꾸기 위해 목적함수를 원래의 sharp 지수의 정의와 달리 아래와 같이 변형했다. 각각의 빔 성능 인자에 대한 목적 함수를 식으로 표시하면 아래의 Eq. (4)와 같다.

J1,1(m)=-mean(DI)J2,1(m)=mean(ϕ)J3,1(m)=mean(θ)
(4)
J1,2(m)=range(DI)J2,2(m)=range(ϕ),J3,2(m)=range(θ)
J1,3(m)=-mean(DI)/range(DI)J2,3(m)=mean(ϕ)×range(ϕ)J3,3(m)=mean(θ)×range(θ)

여기서 ϕ는 방위각의 빔 폭이며 θ는 고각방향의 빔 폭을 말한다. 2차원 빔에서 빔 폭은 빔의 최대응답축을 기준으로 정의되는 양이다. m은 추정 파라미터를 나타낸다. Eq. (4)의 목적함수의 형태를 파악하기 위해, c와 y0의 설계 변수에 대해 각각의 목적함수를 계산하여 탐색공간을 관찰했다.

Fig. 4는 그 결과를 보여준다. 곡면 배열은 빔을 형성할 때 음영 구역 등을 고려하여 배열의 모든 센서를 사용할 수 없다. 조향 방위에 대해 유효한 센서만을 사용한다. 본 논문에는 조향방위 별 유효한 센서를 활성 센서라고 지칭한다. 조향 방위 별 활성 센서는 전체 센서 개수의 46 %로 지정했다. 예를 들어, 전체 센서의 개수가 1000개라면, 460개의 센서가 활성센서가 된다. 위의 비율은 시스템적인 측면과 음영구역을 고려하여 설정한 값으로 최적값이나 고정된 값은 아니다.

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Fig. 4.

(Color available online) Search space of each object function for DI, beam width for bearing angle (PH), beam width for elevation angle (TH). (a) mean, (b) range, and (c) sharp index.

그리고, 탐색 변수의 범위는 각각 2.37 < c < 12.99, -1.9 < y0 < 1.0로 지정했다. II절에서 기술했듯이 c가 커질수록 배열의 모양은 원통형 배열에 가까워지며, 적을수록 z방향에 대해 납작한 곡면 배열이 된다. 위에서 c = 2.37은 센서간 최소거리 조건을 만족하기 위한 최솟값이며, c = 12.99은 원통형 배열로 보기에 충분한 c의 값 중에 최솟값이다. y0는 배열의 전체적인 모양을 말굽형, 포물선형, 타원형 등으로 바꿀 수 있는 값이다. 소나의 공간을 고려할 때 y0의 최소값은 –2.0이나 곡면 배열의 하부에서 음영구역이 발생하는 문제가 있어서 계산의 편위를 위해 y0 = --1.9로 설정했다. y0의 최대값은 보다 넓은 범위를 관찰하기 위해 ‘y축 길이의 1/2’인 0.5보다 큰 1.0으로 설정했다. 최적 형상을 찾기 위해 이 모든 범위에 대해 목적함수를 전역탐색을 하였다.

Fig. 4(a)는 평균에 대한 탐색 공간을 보여주며, Fig. 4(b)는 거리에 대한 탐색 공간, Fig. 4(c)는 sharp 지수에 대한 탐색 공간을 보여준다. Fig. 4(a)에서 평균은 곡면의 형상에 따라 c나 y0의 값에 따라 큰 차이가 없는 것을 알 수 있다. 지향 지수는 중심 값으로부터 약 0.01 %의 변동만 존재하며, 두 개의 빔 폭은 중심값에 대해서 약 10 % 이내로 변동한다. 지향 지수와 방위각 빔 폭의 평균값은 포물면 형에 속한 그룹이 우수했으며, 고각 빔폭은 흥미롭게도 곡면 포물면 형이 가장 우수했다.

Fig. 4(b)에서 지향 지수의 거리는 c가 작을 때의 그룹이 우수했다(z방향에 대해 곡면에 가까운 그룹). 반면에 방위각 빔 폭의 거리는 포물면 형 그룹이 우수했다. 고각의 빔 폭의 거리는 타원구 형에 가까운 그룹이 우수했다. 방위각 빔 폭의 거리는 빔 폭의 평균과 탐색 공간의 형태가 유사했다. 하지만 지향지수와 고각 빔 폭은 평균과 거리의 탐색 공간이 서로 다르다.

Fig. 4(c)는 sharp 지수 관점에서 평가한 것이다. 지향 지수의 평균의 변화량이 작기 때문에, 지향 지수의 sharp 지수의 탐색 공간은 거리의 탐색 공간과 유사하다. 방위각 빔 폭은 평균과 거리의 탐색 공간의 차이가 작기 때문에 sharp 지수의 탐색 공간도 동일하다. 고각 빔 폭은 거리의 탐색 공간의 절대적인 크기가 크기 때문에 sharp 지수의 탐색 공간은 거리의 탐색 공간의 형태를 따라간다.

IV. 종합목적함수를 이용한 최적화

앞 절의 결과처럼 최적의 곡면 배열 형상은 목적함수에 따라 다르게 나타날 수 있다. 본 절에서는 앞 절에서 서술한 총 9가지의 빔 성능에 대한 목적함수를 종합적으로 평가하기 위해 종합목적함수를 제안한다. Eq. (4)의 9가지의 목적함수는 최솟값을 찾는 목적함수로 정의가 되어 있기는 하나, 각각의 목적함수마다 스케일이 서로 다르기 때문에 정량적인 비교가 불가능하다. 그래서 우선 다음과 같은 표준화 과정을 도입했다. 각각의 목적함수 Ji,j(m)는 아래와 같이 표준화 된다.

(5)
Zi,j(m)=Ji,j(m)-max[Ji,j(m)]range[Ji,j(m)],

여기서 max(.)는 벡터의 최대값을 의미하며, range(.)는 벡터의 거리를 나타낸다. Eq. (5)와 같이 표준화 된 목적함수는 –1과 0사이의 값을 가지게 된다. 이 때문에 서로 다른 범위를 갖는 빔 성능 인자들의 목적함수를 정량적으로 비교할 수 있게 된다. 하지만 Eq. (5)의 가장 큰 약점은 표준화를 수행하기 위해서는 목적함수의 모수인 최댓값과 거리를 알아야 한다는 것이다. 일반화 된 다 변수 최적화를 수행할 경우 위의 모수도 함께 추정해야 할 것이다. 본 연구에서는 2개의 설계변수를 사용하고 탐색공간이 작기 때문에 위의 모수는 쉽게 구할 수 있다고 가정을 한다. 이때 종합목적함수는 아래의 식으로 정의 된다.

(6)
JT(m)=ijwi,jZi,j(m).

위 식에서 wi,j는 0과 1사이의 값으로 각 목적함수의 중요도를 나타내는 상대적인 가중치이며, ijwi,j=1을 만족해야 한다. 본 연구에서 정의한 종합목적함수는 Eq. (5)처럼 각 목적함수의 선형 합으로 주어지나, 제곱 합이나 절댓값 등의 여러 가지 형태의 종합목적함수를 생성하는 것도 가능하다. 다만 종합목적함수의 식에 따라서 나올 수 있는 최적해의 형태를 이해하는 것이 필요하다.

Fig. 5Eq. (5)의 종합목적함수를 사용할 때 발생할 수 있는 나쁜 상황과 좋은 상황을 이해를 돕기 위해 그린 것이다. Eq. (5)의 목적함수는 각각의 목적 함수의 국소 최적값이 서로 엇비슷한 거리에 있을 때는 의미있는 좋은 전역 최적해를 제공한다. 또는 wi,j의 값이 특정 목적함수 그룹에서 큰 값을 갖고 나머지는 작은 값을 갖는 경우도 이에 해당한다. 그렇지만 Fig. 5의 아랫 그림처럼 각 목적 함수의 국소 최적값이 서로 먼 거리에 있으며, 각각의 wi,j의 값이 엇비슷할 때는 전체 종합목적함수에서도 여러 개의 국소 최적해가 존재할 가능성이 있다.

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Fig. 5.

(Color available online) Illustration for the performance of total object function.

이러한 경우에는 종합목적함수의 평가가 큰 의미가 없을 것이다. Zi,j(m)는 최대값이 0이고 최소값이 –1의 값을 갖는 분포함수로 볼 수 있다. 이 함수의 평균과 분산은 파라미터에 따라 달라질 것이고, 전체 종합목적함수에 기여도도 파라미터에 따라 달라진다는 것을 언급한다. 또한 앞에서 살펴보았듯이 각각의 단일목적함수뿐만 아니라 가중치도 종합목적함수 평가에 중요한 역할을 한다. 이 가중치는 전문가 시스템을 통해 결정하는 것이 합리적일 것이다. 가중치를 설정할 자료나 근거가 없다면 균등확률의 개념을 도입하여 모든 가중치가 동등하다고 설정하는 것이 합리적이다.

본 연구에서는 Eq. (6)의 종합목적함수를 이용하여 곡면 배열의 형상에 대한 최적 파라미터를 도출했다. 46 %의 활성 영역 센서 개수를 사용한다고 가정하였으며, 종합목적함수의 평가에는 Z3,j(m)만 사용했다. Fig. 4에서 관찰했듯이 평균이나 거리에 대한 목적함수를 이용할 경우는 곡면 배열의 최대 성능과 균일 성능을 모두 고려하는 것이 어렵다. 그렇기 때문에 sharp 지수를 이용한 Z3,j(m)를 종합목적함수 평가에 이용하는 것이 공학적인 분석에 용이하다. 이를 가중치 관점에서 서술하면 Z1,j(m)Z2,j(m)에 해당하는 가중치인 w1,jw2,j는 0으로 놓은 것이다.

한편, w3,j의 가중치는 가중치에 대한 자료가 없는 관계로 모두 균등하게 놓았다. 균등하지 않게 놓았을때의 결과에 대해서도 뒤에 짧게 언급한다.

종합목적함수 평가를 위해 c의 범위는 2.37에서 12.99 사이를 로그스케일로 25개의 데이터로 나누었으며, y0는 –1.9487에서부터 1까지 47개의 데이터로 분할 했다. 여기서 c의 최솟값은 링에서 센서 사이의 거리가 ‘파장/4’에 해당하는 값으로 결정했으며 최댓값은 z방향에 대해 평면과 유사한 곡률을 가지게 될 때의 값을 택했다. y0의 최솟값은 소나 탑재 공간을 고려하여 –2.0부터 시작해야 하나 음영 구역을 계산할 때 오차가 발생하는 것을 막기 위해 위의 –1.9487을 선택하였으며, y0의 최댓값은 소나 탑재 공간의 종 방향 길이인 –2 ~ 3의 중앙값인 0.5보다 조금 더 많이 보기 위해 임의로 1.0으로 놓았다. 결국 c와 y0의 데이터 개수가 25개, 47개 이므로, 전체 데이터의 개수는 1175개가 된다. 종합목적함수의 평가에는 sharp 지수를 이용한 목적함수[Z3,j(m)]만을 사용했다.

Fig. 6w3,j = [1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]일 때의 결과를 사용했을때의 종합목적함수의 탐색공간을 도시했다. 이 세 종류의 가중치를 사용하면, Z3,j(m)를 각각 단독으로 사용하여 최적화를 했을 때와 동일한 결과를 준다. 각각의 목적함수의 최적해는 같은 색깔의 원으로 해당 위치에 표시했다. 이 그림에서 보면 지향 지수에 대한 탐색공간은 광역 최적해가 분명하게 나타나는데 비해, 방위각 빔 폭과 고각 빔 폭은 상대적으로 광역 최적해가 뚜렷하지 않다. 그리고 목적함수를 무엇을 잡느냐에 따라 최적해의 위치가 달라지는 것을 확인할 수 있다.

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Fig. 6.

(Color available online) Vectorized search space of object function for directvity index (DI), beam width for bearing angle (PH), and beam width for elevation angle (TH). The circle indicates the optimum point of each search space.

Fig. 7은 균등가중치를 이용한 종합목적함수의 탐색공간을 보여준다 (w3,j=1/3). Fig. 6의 지향 지수에 대한 탐색 공간처럼 광역 최적해가 비교적 뚜렷하게 나타나는 것을 볼 수 있으며, 지역 최적해들의 종합목적함수 값이 비교적 커진 것을 확인할 수 있다. Table 1은 각각의 가중치에 대한 최적해를 정리한 것이다. 균등 가중치로 평가한 최적해의 c값은 지향지수로 평가한 최적값에 가까우며, y0의 값은 고각 빔 폭에 대한 최적값에 가까운 것을 확인할 수 있다.

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Fig. 7.

(Color available online) Vectorized search space of total object function using uniform weightings. The circle indicate the optimum point.

Table 1.

Optimal solution in each weights.

w3,j c y0
[1, 0, 0] (DI) 2.544 -0.026
[0, 1, 0] (PH) 12.99 1.000
[0, 0, 1] (TH) 3.147 0.487
[1/3, 1/3, 1/3] (uniform) 2.544 0.872

Table 1에 대한 곡면배열의 형상을 Fig. 8에 도시했다. 균등 가중치로 평가한 곡면배열의 형상은 z방향에 대해 곡률이 있으며 방위각 빔 폭 목적함수에서 얻어진 형상보다는, 지향 지수나 고각 빔 폭의 목적함수에서 얻어진 형상과 유사했다.

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Fig. 8.

(Color available online) Optimized shapes of conformal array using three independent object functions [Z3,j(m)] and total object function [JT(m)]. [j = 1 (DI optimization), j = 2 (PH optimization), j = 3 (TH optimization)].

마지막으로 Table 1에서 기술된 것과 다른 가중치를 사용하는 경우 다른 위치에서 최적해가 발생하지만 그 값의 차이는 크지 않았다는 것을 언급한다. 곡면 배열의 모양은 Fig. 8의 지향 지수나 고각 빔 폭에 대한 최적화의 형상과 크게 달라지지 않는다. 이는 지향 지수와 고각 빔 폭에 대한 최적해는 서로 유사하지만, 방위각 빔 폭에 대한 최적해는 서로 멀리 떨어져 있기 때문이다. 예를 들어 방위각 빔 폭 목적함수에 대한 가중치를 0.7로 올려도 곡면 형상은 크게 달라지지 않았다.

V. 결 론

본 연구에서는 곡면 배열의 기하학적 표현을 위해 4개의 형상 변수로 이루어진 이중 타원구 형상 모델을 제안하고 형상 변수들의 특징을 식별하였다. 형상 변수의 변화에 따른 빔 특성을 분석하여 형상 변수들을 2개로 간소화했다. 이를 최적화 설계 변수로 설정하고 지향 지수, 방위각 빔 폭, 고각 빔 폭의 성능 인자에 대해 형상 최적화 문제를 정립했다.

조향 빔 별 빔성능의 평균과 분산을 모두 고려한 sharp 지수를 이용하여 최적화 목적함수를 정의하고, 빔 성능 인자를 종합적으로 평가하기 위해 목적함수 표준화 및 가중치를 이용한 종합목적함수를 정의하여 형상 최적화를 수행했다.

최적화 된 결과를 보면, 지향 지수와 고각 빔 폭에 대한 최적화는 서로 유사한 형상을 주는 것을 볼 수 있다. 지향 지수에 대한 최적 형상은 보다 큰 곡률을 보이는 것을 확인할 수 있다. 반대로 방위각 빔 폭에 대한 최적화는 타원 기둥 모양의 형상을 띠고 있다. 고각 방향에 대해서는 매우 작은 곡률을 보인다.

균등 가중치를 이용한 최적화 결과는 다른 세 개의 결과보다 부드러운 곡면의 형태를 띠었으며 지향 지수만을 사용한 최적 형상과 가장 비슷했다. 이는 지향 지수에 대한 목적함수가 가장 지배적이기 때문이다. 더구나 고각 빔 폭에 대한 목적함수의 탐색공간은 지향 지수의 탐색 공간과 유사하기 때문에, 각 가중치들이 서로 비슷하다면 지향 지수 및 고각의 빔 폭에 대한 형상과 유사하게 최적 형상이 얻어질 것이다. 본 연구 결과는 향후 목적에 따른 빔 성능에 적합한 곡면 배열의 형상을 설정하는데 응용할 수 있다.

Acknowledgements

본 논문은 주요 내용은 국방과학연구소의 지원을 받아 수행되었음 (UD190004DD).

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