I. 서 론

수중에서 음향 신호의 낮은 전달 속도로 인하여 수중음향통신이나 능동형 소나 시스템에서 도플러 천이 주파수 또는 표적의 시선 속도 추정은 중요한 문제 가운데 하나이다.^[1] 도플러 효과는 다른 요인들도 있지만 보통 플랫폼의 이동성이 원인이며, 만약 수중음향통신의 수신단에서 도플러 천이 주파수를 보정하지 않으면 성능이 저하될 수 있다.^[2,3] 이와 같은 중요성으로 인하여 도플러 천이 주파수 또는 표적의 시선 속도 추정을 위해 여러 형태의 신호와 이를 이용한 추정 기법들이 연구되었다.

도플러 천이 주파수 추정을 위한 신호로써 비교적 낮은 소스 레벨로 높은 신호대잡음비(Signal-to-noise ratio, SNR)을 달성할 수 있는 처프 신호를 적용한 연구가 많이 이루어졌으며, 이에는 Linear Frequency Modulated(LFM) 및 Hyperbolic Frequency Modulation (HFM) 신호를 포함한다. 아울러 이들을 서로 연접하거나 중첩하여 설계된 경우도 있다.^[4,5,6,7,8] Li et al.^[4]은 서로 다른 부호의 순간 주파수 변화 기울기를 갖는 LFM 신호를 서로 연접한 형태를 제시하였으며, 같은 형태이나 LFM 신호 대신 HFM 신호를 연접한 방식도 연구되었다.^[5,6] 또한 Peng et al.^[7]은 LFM과 HFM 신호를 연접한 형태를 제시하였다. LFM 신호를 중첩한 경우도 있으나 2개의 신호를 중첩하는 경우 송신 전력이 3 dB 감소하는 단점이 있다.^[8] 국내에서 Cho et al.^[9]은 주파수 대역이 분리되어 있으면서 서로 상반된 부호의 순간 주파수 변화 기울기를 갖는 두 HFM 펄스를 이용하는 방법을 제안하였다. 하지만 대역을 분리하는 경우 그만큼 대역폭이 좁아져서 수신단 처리 과정에서 상관 이득이 감소하는 문제점이 있다. 이렇게 연접된 형태의 신호를 이용하여 도플러 천이 주파수를 추정하는 과정은 보통 각 신호에 해당하는 정합필터를 병렬로 구성하여 그 출력이 최대가 되는 시점의 시간 차를 이용하여 추정한다. 또한 수중음향통신을 위한 프레임 구성에서 같은 부호의 순간 주파수 변화 기울기를 갖는 LFM 신호를 각각 프리앰블과 포스트앰블로 사용하여 이들 사이의 시간 차의 변화를 이용하여 도플러 천이 주파수를 추정하는 방법도 있다.^[10] 이렇게 2개의 신호를 사용하는 방법들은 상대적으로 적은 계산량으로 구현되지만 도플러 천이 주파수가 증가하면 처프 신호의 특성으로 인하여 상관 이득이 감소하고, 그에 따라 추정되는 시간 차 값의 정확도가 감소하여 도플러 천이 주파수의 추정 성능이 감소하는 문제가 있다.

2개의 처프 신호를 이용하는 방법 이외에 1개의 처프 신호를 이용하는 방법도 있다. 이 경우에는 수신단에서 발생가능한 도플러 천이 주파수를 갖는 리플리카(replica) 신호들을 병렬로 구성하여 수신된 신호와의 상호상관도를 구하여 이 가운데 가장 큰 값을 나타내는 도플러 천이 주파수로 추정하는 것으로써 Cross Ambiguity Function(CAF) 방식으로 알려져 있다.^[11] CAF 방식은 하나의 처프 신호만 사용해도 되지만 리플리카 신호들로 뱅크(bank)를 구성하는 그리드 탐색 방식이기 때문에 일반적으로 계산량이 증가하는 문제가 있다. 이외에도 LFM 펄스와 Continuous Wave(CW) 펄스를 교대로 송신하는 방법을 적용하기도 하는데 이는 이들 신호가 갖는 각각의 장점을 활용하는 것이다.

본 논문에서는 도플러 천이 주파수를 추정하기 위해 처프 신호 가운데 하나의 LFM 신호를 사용하되 CAF 방식처럼 처프 신호들로 구성된 리플리카가 아닌 CW 신호로 구성된 리플리카를 적용하는 방법을 제안한다. 제안한 방법은 LFM 신호의 시작 주파수 및 마지막 주파수를 기준으로 각각 관심 도플러 천이 주파수 범위 안에서 구성되는 짧은 길이를 갖는 CW 신호의 리플리카와의 상관도를 구한 뒤 이 상관도 크기의 변화를 탐지하여 도플러 천이 주파수를 추정한다. 모의실험을 통해 제안된 방법의 유효성을 검증하였다.

본 논문의 구성은 다음과 같다. 제2장에서 LFM 신호를 포함하여 도플러 천이 현상에 대해 설명하고, 제3장에서는 CW 신호의 리플리카를 사용하여 도플러 천이 주파수를 추정하는 기법을 제안한다. 제4장에서는 모의실험을 통해 제안하는 방법의 성능을 보이고, 마지막으로 제5장에서 결론을 서술한다.

II. LFM 신호

이 논문에서는 LFM 신호를 대상으로 하였으며, 이는 다음과 같이 정의된다.

Eq. (1)에서 fmin는 시작주파수를 의미한다. T는 신호의 길이, B는 대역폭으로써 fmax-fmin이 된다. 여기서 fmax은 끝 주파수를 의미한다. 만약 fmax-fmin>0인 상황에서는 순간 주파수 변화의 기울기가 상승 스윕 신호가 되며, fmax-fmin<0이면 하강 스윕 신호가 된다.

수중 환경에서 플랫폼의 이동 속도만 고려하면 단방향에서 수신된 LFM 신호는 Fig. 1의 예시와 같이 간략화된 스펙트로그램은 도플러 효과에 의해 영향을 받게 된다. 그림에서 s(t)는 송신 신호, r(t)는 수신 신호를 의미한다.

Fig. 1.

(Color available online) The effect of Doppler shift on the LFM spectrum.

Fig. 1의 예시는 송수신단이 서로 접근하는 경우를 나타낸 것으로써 이는 시간 영역에서는 신호 압축 효과, 그리고 주파수 영역에서는 스펙트럼 이동 현상이 나타남을 보여준다. c는 수중에서의 음속, v는 이동하는 송신기와 수신기 사이의 상대 속도로 가정한다면 도플러 스케일은 △=v/c로 정의되며, 스케일 팽창계수는 D=1+△로 나타낼 수 있다. 도플러 주파수 천이를 고려하여 수신된 신호는 다음과 같이 표현된다.

여기서 𝜏는 송신기와 수신기 사이의 거리에 따른 도달 시간차를 나타내며, Fig. 1에서는 생략하였다.

보통 수신된 신호는 정합 필터링 과정을 거치는데 이를 통해 처리 이득을 얻는다. 하지만 LFM 신호의 모호도는 시간-주파수 영역에서 기울어진 형태이며, 이로 인한 시간-도플러 커플링 효과가 발생한다.^[1,12] Eq. (2)에 따르면 도플러 천이가 발생하면 시간 축에서 압축 또는 팽창이 발생하며, 이는 정합 필터링 과정에서 기울기 불일치로 인한 처리 이득의 감소로 이어진다.

III. 제안하는 방법

제안하는 방법은 최소 주파수 fmin이고, 최대 주파수 fmax인 하나의 단일 상승 처프 신호만을 사용하여 Fig. 1에 나타낸 주파수 영역에서의 스펙트럼 이동 정도를 추정하여 도플러 천이 주파수를 찾는다. 하지만 하강 처프 신호를 적용하더라도 방법의 차이는 없다. 이는 다음과 같이 2단계로 구성된다.

3.1 1차 도플러 천이 주파수 추정

수신된 LFM 신호의 주파수 천이 정도를 추정하기 위하여 서로 다른 주파수를 갖는 CW 신호들로 구성된 리플리카 뱅크와 주파수 천이된 LFM 신호 사이의 상호 상관 특성을 분석한다. CW 리플리카 뱅크는 LFM 신호의 시작 및 끝 주파수를 기준으로 도플러 천이 주파수의 예상 범위를 고려하여 설정한다. 수신된 LFM 신호와 CW 신호는 상호 상관을 통해 예상 도플러 천이 주파수마다 도출되는 계산 결과의 최대값을 찾는다. 따라서 주파수 변화에 따른 진폭 변화는 해당 인덱스에서 LFM 신호의 유무를 나타낸다.

k번째 상관기에서 길이가 Tcw이고, 주파수가 fk인 CW 신호 xk(t)는 식 Eq. (3)으로 정의한다. 이에 따라 CW 리플리카 뱅크는 fk=fmin or fmax+μk-B^/2(k=0,1,…,B^/μ)가 되고, 예상 범위 B^를 갖는 B^/μ+1개의 CW 신호를 생성하게 된다. 여기서 𝜇 는 주파수 해상도이다.

수신된 신호 r(t)와 k번째 CW 리플리카 신호 xk(t)는 상호 상관을 통해 관심 영역 내의 k번째 주파수에서 최대값을 식 Eq. (4)와 같이 A(k)로 표현한다. 설명을 돕기 위해 도플러 주파수 천이가 없는 상황을 가정한다. Fig. 2에 나타낸 것과 같이 LFM 신호의 최소 주파수를 기준으로 한 CW 리플리카 뱅크의 상호 상관 Amin(k)는 fmin보다 낮은 영역에서는 상관도가 낮기 때문에 0에 가까운 특징을 갖고, fmin부터 그보다 높은 영역에서는 수신된 신호와 상관성이 커지기 때문에 급격히 상승하여 유지되는 특징을 보인다. 또한 LFM 신호의 최대 주파수를 기준으로 한 CW 리플리카 뱅크의 상호 상관 Amax(k)는 fmax보다 높은 주파수에서 작은 값을, fmax보다 낮은 주파수에서는 큰 값을 갖는다. 따라서 제안한 방법은 CW 리플리카 뱅크를 두 개의 그룹으로 나누고, 각각 기준 주파수를 fmin와 fmax로 하여 도플러 천이 주파수 예상 범위에서 상호상관도를 계산하도록 한다. 그리고 구간 평균을 취하도록 하는데 이는 변화의 추세를 활용하여 정확한 추정에 도움을 준다. Fig. 2에 이와 같은 내용을 나타내었다.

Fig. 2.

(Color available online) Cross-correlation between Doppler shifted LFM and CW replica bank in zero Doppler case.

위의 그림은 Tcw가 5 ms인 경우에 CW 리플리카 뱅크 출력 Amin와 Amax를 겹쳐서 나타낸 것이다. 두 그래프가 서로 교차하는 지점을 q라고 할 때, Eq. (4)에 의해 주파수 fmin , fmax에 해당하는 각각의 인덱스는 qmin=AminB^2μ+1와 qmax=AmaxB⏜2μ+1가 된다. qmin와 qmax은 그림의 x축 중앙의 인덱스를 의미하여 결국 같은 값을 뜻하므로, 이를 Q라고 정한다. 만약 수신 신호에 도플러 천이가 발생했다면, 교차점 q는 더 이상 그래프의 중앙이 아닌 다른 인덱스에서 나타난다. 따라서 도플러 천이가 없는 이상적인 경우의 교점 인덱스 Q와 도플러 효과로 인해 이동한 교점 인덱스 q 사이의 차이가 발생함에 따라 도플러 천이 주파수 fd를 추정할 수 있다. 즉, 그림의 파란색 선Amin(k)와 빨간색 선 Amax(k)의 교점에 해당하는 q'는 fd=(q'-Q)*μ를 따른다.

Fig. 3은 제안한 방법의 흐름도를 나타낸 것으로 수신된 신호와 두 개의 CW 리플리카 뱅크에 대한 각각의 상호 상관도를 계산하고 Fig. 2와 같이 이들이 교차하는 지점을 찾아 도플러 천이 주파수를 추정한다.

Fig. 3.

Block diagram of the proposed method.

LFM 신호와 CW 리플리카의 길이 또는 윈도우 함수의 적용 유무와 같은 요소는 상호 상관도에 영향을 줄 수 있다. 예로써 CW 리플리카의 길이가 아주 짧다면 수신 신호와의 상관도가 작아지고, 반면에 길이가 길면 상관도는 크지만 그 폭이 넓어져 최대값의 위치를 정확하게 가리킬 수 없게 된다. 따라서 적절한 파라미터를 설정하는 것이 중요하다. 제안하는 방법에서는 LFM 신호는 길이가 32 ms이고, 윈도우 함수를 적용하지 않도록 고정하면서 최적의 CW 리플리카 길이를 찾고자 하였다. 우선 도플러 천이 주파수가 –100 Hz부터 100 Hz 사이인 경우에 CW 리플리카의 길이가 최소 1 ms에서 최대 32 ms까지 변화시키면서 도플러 주파수를 추정하고, 이들의 평균과의 차이를 계산하여 Fig. 4에 나타내었다. 결과에서는 CW 리플리카의 길이가 짧은 경우에는 큰 오차를 보이지만, 4 ms 이상의 영역에서는 수렴하는 것을 확인할 수 있다.

Fig. 4.

(Color available online) Difference according to the length of the CW replica signal.

3.2 추정된 도플러 천이 주파수 보정

앞서 언급한 CW 리플리카 뱅크를 이용한 도플러 추정의 결과에는 오차가 발생할 수 있다. 왜냐하면 Fig. 1을 보면 도플러 천이 과정에서 처프 신호의 스펙트로그램이 주파수 영역에서 평행이동 하지 않기 때문이다. 즉, 낮은 주파수와 높은 주파수에서의 천이 정도가 다르다. 또한 채널을 통과한 LFM 신호와 CW 신호와의 상호상관도는 CW 신호의 길이에 의해 영향을 받으며, 이는 Fig. 2와 같은 그림의 상승 또는 하강 구간이 길어지게 만들어 그 기울기가 미세하게 바뀌었다고 해도 교차 지점이 달라져 추정값이 크게 변하는 결과를 불러올 수 있다. 따라서 본 논문에서는 CW 신호를 이용하여 1차적으로 추정된 도플러 천이 주파수를 보정하는 과정을 추가하였다.

설명을 위하여 CW 신호의 길이를 2 ms ~ 30 ms로 변화시키면서 도플러 천이 주파수 추정 값을 Fig. 5에 나타내었다. 그림에서 CW 신호의 길이에 따라 차이를 갖는다는 것을 확인할 수 있고, 무엇보다 도플러 천이 주파수가 커질수록 오차가 증가하는 것을 볼 수 있다. 이러한 문제를 해결하기 위해 비선형 최소 제곱 곡선 적합을 이용하여 다항식의 형태로 나타내어 실제 정답의 도플러 값과 추정된 도플러 값 사이의 관계를 정의한 뒤 이를 이용하여 보정하도록 하였다.

Fig. 5.

(Color available online) Comparison of the estimated Doppler frequency according to CW signal length.

추정된 도플러 천이 주파수에 따라 오류를 보정하는 과정은 다음과 같다. 이를 위해 우선 양의 방향과 음의 방향으로의 도플러 추정값을 분리해서 최적화된 다항식으로 나타내었고, Fig. 6에 함께 나타내었다. 그림은 실제 도플러 값을 a, 추정된 값을 b라고 할 때, 그림의 오류율은 [(a-b)/b]로 계산한 것이다. x축은 추정된 도플러 천이 주파수이고, y축은 도플러 추정값에 따른 실제 도플러와의 상대적인 오류율을 나타낸다. 주파수가 0 Hz에 가까워질수록 오류가 무한대로 커지는 것처럼 보이지만, 이는 오류율을 계산하는 과정에서 분모 항이 0에 가까워지기 때문에 발생하는 현상으로 실제는 오류가 작은 값을 의미한다. 마지막 과정으로써 구해진 오류 곡선에 추정된 도플러 천이 주파수를 대입하여 오류의 차를 보상함으로써 최종적인 도플러 주파수를 추정한다.

Fig. 6.

(Color available online) Relative error rate for compensation of the estimated Doppler frequency.

IV. 모의실험 및 결과

모의실험을 통해 제안하는 도플러 천이 주파수 추정 기법의 성능을 Additive White Gaussian Noise (AWGN) 채널에서 확인하였다. 도플러 천이 주파수는 –100 Hz부터 10 Hz의 간격으로 100 Hz까지 증가하도록 설정한다. 1차 도플러 천이 주파수 추정을 위한 CW 리플리카 뱅크는 각각의 기준 주파수 fmin와 fmax에서 범위가 –1 kHz부터 1 kHz까지의 주파수 해상도가 5 Hz ~ 40 Hz 간격인 리플리카로 구성하였다. 이는 2차 도플러 주파수 보정 단계에서 소수점 아래까지 계산이 가능하기 때문이다. 상승 LFM 신호를 사용하였으며, CW 리플리카 뱅크의 길이는 Fig. 4의 결과에 따라 과도한 오류는 피하고 최소한의 길이를 갖기 위해 5 ms로 하였다. 또한 각각의 경우 20회씩 독립적으로 반복 수행한 뒤 평균을 취하였다. 적용된 파라미터는 Table 1의 내용과 같다.

Fig. 7은 주파수 해상도가 10 Hz이면서 SNR이 0 dB ~ 30 dB인 경우의 도플러 천이 주파수 추정 결과를 나타낸 것이다. 높은 SNR의 경우에는 설정된 도플러 천이 주파수에 가까운 값을 추정하였으나 SNR이 0 dB인 경우 상대적으로 오차가 나타나는 것을 보인다. 또한 도플러 주파수가 약 10 Hz에서 40 Hz 사이의 구간에서 다소 편차를 보이는데 그 이유는 Fig. 5에서 찾을 수 있다. 즉, 도플러 천이 주파수 추정값을 다항식으로 곡선 적합을 통한 최적화 과정에서 발생하는 오차에 기인한 것이다. 이러한 결과는 Fig. 8에서도 확인할 수 있다.

Fig. 7.

(Color available online) Comparison of the compensated Doppler frequency according to SNR.

도플러 주파수 추정은 주파수 해상도 𝜇에 따라 그 결과가 변화할 수 있는데 이는 Fig. 8에 나타내었다. CW 리플리카 뱅크에서 리플리카를 생성하는 주파수 간격 즉, 주파수 해상도를 5 Hz ~ 40 Hz로 하였을 때의 경우를 비교하였다. 앞선 결과에서 확인한 바와 같이 도플러 주파수가 약 10 Hz에서 40 Hz 구간에서 차이가 있지만 그 외에는 거의 동일한 도플러 주파수 추정을 보였다. 이에 따라 제안하는 방법은 주파수 해상도에 따른 편차가 적어 높은 주파수 해상도를 선택하여 계산량을 줄일 수도 있다.

Fig. 8.

(Color available online) Comparison of the compensated Doppler frequency according to frequency resolution.

Fig. 9는 –30 Hz와 30 Hz의 도플러 천이 주파수를 가질 때, SNR이 0 dB부터 30 dB까지 변화함에 따라 제안한 방법과 기존의 CAF 방법의 도플러 천이 주파수 추정 결과의 Mean Absolute Error(MAE)를 나타낸 것이다. 제안하는 방법과 동일하게 소수점 아래 자리까지 도플러 주파수를 추정하기 위해, 기존의 CAF 방식에 사용된 LFM 리플리카 뱅크는 –100 Hz에서 100 Hz까지의 구간에서 리플리카를 생성하였다. SNR이 15 dB 이상이면서 도플러 천이 주파수가 –30 Hz인 경우에는 MAE가 0 Hz에 가깝게 나타났다. 하지만 도플러 천이 주파수가 30 Hz인 경우에는 상대적으로 SNR의 변화와 관련 없이 비교적 큰 MAE 값을 나타내었다. 이는 앞서 언급하였듯이 곡선 적합을 위해 선택한 함수의 특징으로 인한 것으로 향후에 이와 같은 오차를 최소화하기 위한 최선의 곡선 적합 함수에 대한 연구가 필요할 것으로 보인다.

Fig. 9.

(Color available online) Mean absolute error at Doppler frequency -30 Hz and 30 Hz.

Fig. 9의 결과로부터 기존의 CAF 방식의 평균 오차가 제안한 방법보다 전체적으로 작지만 이 두 방법 사이의 계산량에는 차이가 있다. Table 2는 제안하는 방식과 기존의 CAF 방식을 사용하였을 때의 동작시간을 비교한 것으로 이를 위해 MATLAB의 tic toc 함수를 사용하였다. 그 결과, 기존의 CAF 방식에 비해 CW 리플리카 신호의 주파수 간격인 𝜇 값이 10 Hz인 경우 동작시간이 약 72 % 정도 단축되는 것을 확인할 수 있다.

V. 결 론

본 논문에서는 도플러 천이 주파수를 추정하기 위하여 단일 LFM 신호를 송신하고, 수신단에서는 CW 리플리카 뱅크를 이용한 상호상관도 기반의 방법을 제안하였다. 이는 1차 도플러 천이 주파수를 추정한 후, 곡선 적합에 기반한 보정 단계를 거쳐 최종 도플러 천이 주파수를 도출한다. 모의실험을 통해 제안한 도플러 천이 주파수 추정 및 보정 방법의 유효성을 확인하였다. 결과는 SNR이 높은 경우에는 대부분의 구간에서 비교적 낮은 오차를 달성하였으나 일부 특정 구간에서 추정 값의 변동성이 증가하는 것을 보였다. 그 이유는 곡선 적합 과정에서 발생한다는 것을 알 수 있었다. 향후 실제 해상실험을 통해 획득한 데이터를 이용하여 제안한 방법의 성능을 검증하고, 아울러 도플러 주파수 추정의 정확도 향상을 위한 연구가 필요할 것으로 보인다.