I. 서 론

일정 거리 떨어져 있는 두 수신기에 수신된 신호간의 지연 시간량을 추정하는 것은 여러 공학 응용에서의 목표물 위치추정 문제나 추적에 쓰이고 있다.^{[1,2,3,4,5,6,7,8]}

시간 지연을 추정하는 방법 중에는 두 수신 신호 사이의 상호 상관도을 구하여 그 상관 값이 최대가 되는 시점을 시간 지연량으로 구하는 방법을 근간으로 하는 방법이 있고,^[9] 두 수신 신호들 사이의 지연 관계를 일종의 유한 임펄스 응답 시스템으로 보고 이 시스템의 임펄스 응답을 구하는 방법이 있다.^[4,5,6,7,8] 이를 디콘볼루션 방법이라고도 한다. 후자와 같이 시간 지연 추정을 위해서 시스템 모델을 사용하는 경우에 이 추정할 모델에서 극히 소수만이 유의미한 일종의 희소성 채널이 주 대상이 된다. 최근에는 압축센싱 방법^[10]의 하나인, Lasso 정규화 즉, l₁ 정규화된 Least Mean Square(LMS) 방식 희소성 시스템 임펄스 응답 추정 기법을 응용한 시간 지연 추정 기법이 제안되었다.^[11] 이 방법을 통하여 비교적 낮은 신호 대 잡음 비율에서 시간 지연 추정할 때 기존의 상호 상관을 사용하는 방법이 겪는 갑작스러운 성능 열화 현상인 문턱 현상이 완화됨을 보였다.^[11] 그러나 위치추정과 같은 시간 지연 추정 응용 분야에서 더 적은 추정 오차가 요구된다. 이는 적은 추정 오차가 더 정확한 위치추정을 의미하기 때문이다.

이를 위해서 본 논문에서는 l₁ 정규화만을 사용하는 경우의 단점을 보완한 Elastic Net^[12]을 이용한 시간 지연 추정법을 제안하고, 모의실험을 통해서 상당히 넓은 신호 대 잡음 비율에서 추정 오차를 줄일 수 있음을 보인다.

II. 지연 신호의 수치 모델링

시간 지연 추정 문제의 신호 모델은 다음과 같다. 두 수신기에 각각 수신된 신호를 x_i(k), i = 1, 2라 한다면, 그 신호의 수치 모델은 다음과 같다.^[11]

여기서 α_i는 원신호, s(k),가 i번째 수신기에 도달할 때의 감쇄 계수이고, τ_i는 원신호가 i번째 수신기에 도달할 때까지의 전파시간이다. 또 n_i(k)는 i번째 수신기에 부가된 잡음이다. 이 모델에서 s(k), n_i(k)는 영 평균이고, 상호 상관이 없는 가우시안 신호이다. 두 수신기 간에 상대적인 시간 지연은, τ12=τ1-τ2이다.

1번 수신기를 기준으로 시간 지연을 수식으로 다시 쓰면 다음과 같다.^[11]

여기서 α₁₂는 1번 수신기에 대한 2번 수신기의 이득 값이고, τ₁₂는 1번 수신기 대비 2번 수신기의 시간 지연 값이다.

Eq. (2)와 같은 지연 관계를 시스템으로 보고 이를 추정하는 과정을 그림으로 나타내면 Fig. 1과 같다.

Fig. 1.

Time delay estimation modeling by system identification approach.^[11]

Fig. 1는 1번 수신기에 수신된 신호에 비해서 2번 수신기에 수신된 신호가 늦게 도착한다는 가정이 내포된 것이다. 다음 Fig. 2와 같이 1번 수신기에 두 수신기 사이의 최대 시간 지연에 해당하는 고정적인 시간 지연, τ_fix를 부가하도록 모델을 수정하면 1번 수신기에 비해서 2번 수신기에 수신된 신호가 늦은 경우뿐만 아니라 먼저 도착한 경우도 처리할 수 있다.

Fig. 2.

Practical time delay estimation system diagram.^[11]

III. Elastic Net 기반 추정 알고리즘

3.1 Lasso 정규화를 이용한 시간 지연 추정

앞 절에 두 수신 채널 간 신호의 시간 지연 추정을 시스템 추정의 시각으로 생각할 때, 두 수신 신호 간의 시간 지연을 Fig. 3과 같은 임펄스 응답으로 모형화할 수 있고, 시간 지연 추정을 위해서 Fig. 3과 같은 임펄스 응답을 추정한 후 그 결과로부터 시간 지연 값을 얻을 수 있다.

Fig. 3.

Time delay channel model between two received signals.^[11]

Fig. 3에 그려진 임펄스 응답을 보면 전체 중에서 극히 일부만이 의미 있는 값을 갖는 특징을 갖고 있다는 것을 알 수 있다. 이런 특징을 지닌 신호를 희소(sparse)신호라고 한다.^[13]

이런 신호를 추정할 경우에 일반적인 신호 추정에 많이 사용하는 목적함수인 최소 자승법을 적용할 경우 즉,

를 사용하는 경우는 잡음의 영향으로 참값 외에 많은 유사 해를 추정할 수 있다고 알려져 있다.

희소성을 갖는 신호에 적용하기 위해서 제안된 회귀분석 분야의 한 방법인 Lasso 정규화를 사용해 영향력이 적은 회귀계수 값을 쉽게 0으로 만드는 변수 선택력을 높이는 것을 이용한다.^[11,12,13] Fig. 2의 시간 지연 추정을 위해 Lasso 정규화를 사용하는 목표함수는 Eq. (5)와 같다.^[11,12,13]

여기서 x₂는 수신기2에 수신된 신호로 만든 벡터이다. h은 수신기1과 수신기2 간의 지연 효과 전달함수의 임펄스 응답이다. X1은 수신기1에 수신된 신호와 전달 임펄스 응답 벡터 사이의 콘볼루션을 계산하기 위해서 수신기1의 신호로 만든 원형 행렬이다. 또 위 식의 상수 λ는 h 벡터의 계수 값 축소 강도를 조절하는 역할을 한다.

3.2 Elastic Net을 이용한 시간 지연 추정

3.1에 언급한 Lasso 정규화는 변수 선택을 수행할 수 있지만 정보 손실 및 정확도가 낮은 단점이 있다. 대부분의 변수의 계수를 정확히 0으로 설정하여 변수를 제거하고 여러 변수 간에 상관관계가 있을 때 소수의 변수만 남기기 때문이다. 반면에 또 다른 전통적인 정규화 방법인 Ridge 정규화는 영향력이 적은 변수의 계수를 정확히 0으로 설정하지 않고 가능한 한 0에 가깝게 만들어 그 변수의 영향을 줄인다.

여기서 상수 λ는 Ridge 정규화 계수이다.

모델 해석 측면에서 Lasso 정규화는 무의미한 변수를 제거하기 때문에 희소한 시스템의 경우 Ridge 정규화보다 더 강력한 것으로 간주된다. 그러나 Ridge 정규화는 모든 변수를 유지하므로 예측력 측면에서 Lasso 정규화보다 성능이 우수한 경향이 있다.

Elastic Net은 Lasso와 Ridge 정규화를 모두 사용하여 이들의 이점을 결합한 방법이다.^[12] 높은 영향력을 가진 변수를 선택하고 중요하지 않은 변수의 영향을 최소화하여 과적합을 방지하고, 정보 손실을 최소화하여 모델 해석력과 예측력을 높인다. Elastic Net은 Lasso 정규화와 Ridge 정규화 사이의 가중치를 조정함으로써 변수의 수와 정보 손실에 유연하게 적응할 수 있다.^[12]

여기서 α는 두 정규화 항의 결합 계수이다. 이 결합 계수 값이 1에 가까워지면 Elastic Net은 Lasso 정규화가 되고, 결합 계수 값이 0에 가까워지면 Ridge 정규화가 된다. 본 논문에서 사용한 코드는 공개된 두 Elastic Net를 참고하여 수정하였다.^[14,15]

IV. 모의실험 결과

모의실험을 통해서 제안된 알고리즘의 추정 정확도의 우수성을 다른 알고리즘들과 비교해 보았다. 이를 위해서 두 가지 종류의 신호 환경에서 반복 실험을 하였다.

첫 번째 비교실험은 신호원을 백색 정규 분포를 갖는 광대역인 신호^[4,11]로 가정하고, 1번 수신기와 2번 수신기 사이에 10 신호 표본만큼 시간 지연이 있다고 설정하였다. 그리고 각 수신 신호에 각각 신호원과 상관이 없는 불규칙 잡음을 부가하였다.

두 번째 비교실험을 위한 신호는 첫 번째 실험에 대한 상대적 협대역 신호 또는 음성 및 수중 포유류 신호 등의 유사 신호로서 유색 신호원^[4,11]을 가정하고 발생시켰다. 이를 위해서 s₀(k) = 0.7s₀(k) + w(k)인 관계식을 만족시키는 1차 Autoregressive 과정인 신호를 발생하여 사용하였다. 나머지 실험 환경은 첫 번째 실험과 같게 설정하였다,

각각의 비교실험에서 제안한 방법과 함께 시간 지연 추정 분야에서 전통적으로 유명한 방법인 일반 상호 상관 Generalized Cross Correlation(GCC)방법,^[9] Lasso 정규화를 사용한 희소 신호 처리를 통해 시간 지연 추정하는 방법^[11]및 Eq. (6)에서 α = 0인 Ridge 정규화를 사용한 시간 지연 추정하는 방법^[12]과 비교하였다. 두 방법을 각 신호 대 잡음비에 대해서 500회씩 반복 시행하여 결과를 얻었다. 추정 성능 비교를 위해서 참 지연 값과 추정 지연 값 사이의 차이를 지연 시간 추정 오차라고 하고, 이 지연 시간 추정의 평균 자승 오차(Mean Square Error, MSE)를 각 신호 대 잡음비에 대해서 그래프로 그렸다.

위 두 실험을 실행하기에 앞서 실험을 통해서 Eq. (6)의 α 값을 결정하였다. 이 실험을 위해서 우선 추정하려는 시간 지연의 임펄스 응답이 Fig. 3에서 많이 달라지는 않는다는 가정, 즉 매우 희소성 높은 임펄스 응답을 갖는다는 가정하에 α 값을 0.95부터 0.8 사이의 여러 값에서 신호 대 잡음비를 10 dB에서 –10 dB로 바꿔가면서 앞의 첫 번째 실험의 설정으로 실험한 후 MSE를 구하였다. 여러 번의 실험 결과들로부터 알맞은 α값을 결정하기 위해서 MSE가 –15 dB보다 열화되는 신호 대 잡음비 값을 비교하였다. 이 신호 대 잡음비 값이 0 dB보다 더 낮을수록 우수한 성능을 내는 것으로 판단할 수 있기 때문이다. 이 실험 결과 데이터들과 그 실험 데이터로부터 얻은 근사식 곡선을 Fig. 4에 나타내었다. Fig. 4의 결과로부터 앞서 첫 번째와 두 번째 비교실험을 α = 0.9로 설정하고 실시하였다.

Fig. 4.

(Color available online) 𝛼 Selection curve. (○: experiment result, red solid line: approximation curve). SNR^*: Signal To Noise Ratio

그리고 Eq. (6)는 Eq. (4)에서 l₁-norm의 영향을 좀 줄이고 l₂-norm의 영향을 좀 부가하는 것으로 해석해서 본 논문의 비교실험에서 사용한 λ 값은 Eq. (4)과 같은 식을 기본 식으로 사용한 Reference [11]과 같이 0.1로 설정하였다.

Fig. 5는 첫 번째 실험의 결과를 비교한 그림이다. 이 그림으로 볼 때 제안된 방법이 –6 dB까지는 MSE 성능이 제일 우수함을 알 수 있다. 그리고 상대적인 성능 비교를 위해서 MSE 기준을 –15 dB로 설정한다면, 제안한 방법이 –6.8 dB에서 기준 MSE와 교차 되고, Lasso 기반 시간 추정 방법은 –5.8 dB에서 기준선을 지난다. 또 Ridge 기반 시간 추정 방법은 –2.2 dB에서 기준선을 지난다. 그리고 GCC는 –2.6 dB에서 기준선을 지난다. 따라서 제안한 방법이 Lasso에 비해서 신호 대 잡음비가 약 1 dB 정도 더 낮고, Ridge에 비해서 신호 대 잡음비가 약 4.6 dB 정도 더 낮으며, GCC에 비해서는 4.2 dB 정도 더 낮았다. 따라서 백색 신호원에서 제안한 방법이 상대적으로 넓은 동작 범위에 걸쳐 낮은 추정 오차로 추정할 수 있어서 시간 지연을 통해 위치를 추정할 때 상대적으로 더 정확한 위치추정 결과를 제공할 수 있음을 알 수 있다.

Fig. 5.

(Color available online) Performance comparison in case of white gaussian signal source (-x-: GCC, -△-: Lasso regularized method, -*-: Ridge regularized method, -○-: proposed method).

Fig. 6는 두 번째 실험인 유색 신호원에 대한 실험 결과이다. 이 경우도 제안된 방법이 약 –5 dB까지는 MSE 성능이 제일 우수함을 알 수 있다. 그리고 실험1과 마찬가지로 성능 비교를 위해서 기준 MSE를 –15 dB로 설정한다면, 제안한 방법이 –5.6 dB에서 기준 MSE를 통과하고, Lasso 기반 시간 추정 방법은 –3.2 dB에서 기준선을 지난다. 또 Ridge 기반 시간 추정 방법은 –3.0 dB에서 기준선을 지난다. 그리고 GCC는 0 dB에서 기준선을 지난다. 따라서 제안한 방법이 Lasso에 비해서 신호 대 잡음비가 약 2.4 dB 정도 더 낮고, Ridge에 비해서 신호 대 잡음비가 약 2.6 dB 정도 더 낮으며, GCC에 비해서는 5.6 dB 정도 더 낮았다. 따라서 유색 신호원에서도 제안한 방법이 상대적으로 넓은 동작 범위에 걸쳐 낮은 추정 오차로 추정할 수 있어서 시간 지연을 통해 위치를 추정할 때 상대적으로 더 정확한 위치추정 결과를 제공할 수 있음을 알 수 있다.

Fig. 6.

(Color available online) Performance comparison in case of colored signal source (-x-: GCC, -△-: Lasso regularized method, -*-: Ridge regularized method, -○-: proposed method).

마지막으로 두 실험을 하면서 얻은 평균 수행시간을 Table 1에 정리하였다. 두 실험에서 450 샘플을 데이터 한 묶음마다 시간 지연 추정값 하나를 얻었었다. 이런 수행은 모두 매트랩 환경에서 이루어졌고, 매트랩의 수행시간 측정 명령어를 사용하여 평균 수행시간을 구했다.

Table 1에서 보면 제안된 방법이 다른 방법과 비슷한 수행 속도를 보임을 알 수 있다. 물론 심도 있는 최적화를 통해 수행시간을 더 단축할 여지는 있다. 그러나 새 방법을 제안하려는 본 논문의 목적상 고속화는 더 진행하지 않고, 다른 방법과 비교하여 추정 속도 수준을 가늠할 수 있는 정보만을 제공하려고 한다.

V. 결 론

두 수신기에 입력되는 신호에 간의 지연 시간량을 추정하기 위해 Elastic Net을 사용한 새로운 방법을 제안하였다. 이 방법은 Lasso 정규화와 Ridge 정규화를 조화시키는 방법으로써 기존의 Lasso 정규화를 사용하여 희소 신호 처리를 바탕으로 시간 지연을 추정하는 기법에 비해서 상대적으로 더 넓은 동작 신호 대 잡음 비율 범위를 제공하고 또 백색 신호원이나 유색 신호원 모두에 대해서 신호 대 잡음비 약 –5 dB까지도 추정 오차가 매우 낮아서 정확성 높은 추정 결과를 제공할 수 있음을 보였다.