I. 서  론

연소기 등의 연소 효율이나 성능을 평가하거나 연소 불안정성을 판단하는 기초 자료로서 연소기 내부의 온도 분포 측정 결과를 활용할 수 있다. 연소기 등 덕트 내부 단면의 온도 측정은 광학 및 복사 측정법 등을 이용하여 측정할 수 있다.^[1,2] 그러나, 두 방법 모두 고가의 광학 장비가 필요하며, 한 번의 측정으로는 측정하고자 하는 단면의 온도 분포가 아닌 한 지점의 온도 분포를 얻을 수밖에 없다. 또한 광학 및 복사 측정법의 경우 복사 스펙트럼이 불연속적인 가스 매질 측정 시 온도 정밀도에 문제가 생길 수 있다.^[3,4] 아울러, 석탄을 연료로 사용하면 연소기 내부에 다량의 재가 비산하게 되어 광학 장비의 침투 거리(penetration depth)가 얕아지는 문제로 인하여 측정에 어려움이 존재한다.^[4] 이에 비하여 음향 온도 측정법은 한 번의 측정으로 측정 단면의 온도 분포를 얻을 수 있고 광학 및 방사 측정법보다 저렴한 측정 장비를 이용하며, 음향 신호의 파장이 재보다 매우 크기 때문에 재의 비산과 같은 환경 조건에도 자유로운 장점이 있어, 향후 온도 측정에 있어서 유망한 기술이다. 음향 온도 측정법을 이용하여 온도를 재구성하기 위해서는 단면의 음속 분포 계산이 필요하다. 단면 내부의 매질이 이상기체이며, 단열 과정을 거친다는 가정을 바탕으로 내부의 음속 분포를 이용하면, 의 관계를 이용하여 온도 분포를 계산할 수 있다.

측정하고자 하는 단면의 음속 분포는 먼저 단면 외곽에 배치된 다수의 음향 센서-음향 가진기로부터 시간 지연을 측정한다. 단면 음속 분포와 크기는 유한개의 항으로 근사한 기저 함수(basis function)로 구성된 전달 행렬 및 계수벡터로 구성된 역문제로부터 계산할 수 있다.^[5,6] 이는 역 Radon 변환의 정의와 동일하며, 음속 분포 근사는 음향 단층 촬영법과 같은 이론적 배경을 가진다.^[7] 기저 함수를 근사할 때, 음향 센서-음향 가진기의 개수가 많을수록 음향 센서 간 지연 시간의 개수가 증가하여 기저 함수 근사에 더 많은 항을 사용할 수 있다. 또한, 증가된 항의 개수로 인하여 단면의 온도 분포를 자세히 근사할 수 있기 때문에 공간 해상도도 높아진다. 그러나, 현실적인 제약으로 인하여 항상 많은 수의 음향 센서-음향 가진기를 사용하는 것은 어렵다. 본 연구에서는 초기 온도장 근사값을 이용하여 재형성 된 시간지연 벡터로부터 음속분포를 더 자세하게 근사하여 적은 수의 음향 센서로도 높은 공간 해상도를 얻고자 하였다.

II. 단면 내부 음속 분포 근사 방법

2.1 문제 정의

Fig. 1과 같이 측정 단면에 음향 센서-음향 가진기가 배치되어 있는 경우 음향 가진기에서 발생한 음향 신호가 음향 센서까지 진행하는데 걸리는 시간 t_d는 다음과 같은 선적분으로 표현할 수 있다.

. (1)

식(1)에서 u, 는 측정 단면의 무차원화 된 좌표이며 L과 s는 각각 음향 센서-음향 가진기 사이의 실제 거리 및 무차원화 된 거리를 나타낸다. F(u,)는 역음속 함수(slowness function= 1/c=1/) 이며, 음향 신호가 단위 거리를 진행하는데 필요한 시간으로 정의된다.

F(u,)는 유한개의 항을 가지는 기저 함수를 이용하여 다음과 같은 근사 확장 함수로 표현할 수 있다.

. (2)

여기서 는 기저 함수이며, 은 기저 함수의 계수이다. 본 연구에서는 방사 기저 함수(radial basis function)를 이용한 공간 보간법을 이용하여 측정 단면의 음속 분포를 근사하였다.^[8-10] 채택된 방사 기저 함수는

 (3)

와 같이 정의된 multiquadric 함수를 사용하였는데, 이 함수는 물리적으로 근사하고자 하는 대상이 부드러운 표면을 지닌다는 가정을 가지고 있으므로, 본 연구에서 다루는 온도 분포의 특성과 부합이 된다.^[11] 식(3)에서 , 는 음향 경로의 좌표, , 는 단면 내부에 배치된 보간점의 좌표, (…)_n은 n번째 보간점의 좌표를 나타낸다. 는 형상 계수이며, 일반적으로 형상 계수가 작을수록 근사 결과에 날카로운 피크들이 존재하게 되며, 형상 계수가 클수록 근사 결과의 피크들이 부드럽게 처리된다.^[12,13] 본 연구에서는 Hardy^[11] 및 Franke^[14]가 각각 제시한 보간점 사이의 평균 거리를 이용하여 형상 계수를 결정하는 방법을 선택하였다.

식(2) 와 (3)을 식(1)에 대입하여 음향 센서-음향 가진기 간 시간 지연을 다음과 같이 표현할 수 있다.

, (4a)

. (4b)

식(4a)는 하나의 음향 경로에 해당하는 방정식이며, Fig. 2와 같이 측정 단면의 다수의 음향 센서-음향 가진기로 인하여 생성된 음향 경로의 개수가 p개일 경우 다음과 같은 행렬 방정식으로 표현할 수 있다.

. (5)

식(5)에서 는 의 크기를 가지는 전달 행렬이며, A_n은 q개의 계수들로 구성된 계수 벡터, t_d는 p개의 음향 경로에 해당하는 시간 지연 벡터이다. 음속 분포는 식(5)로부터 계산된 계수 벡터 A_n을 이용하여 계산할 수 있으며, Moore-Penrose 일반 역행렬을 이용하여 다음과 같이 계산할 수 있다.^[15]

. (6)

행렬 분해 방법의 하나인 특이치 분해(singular value decomposition)를 이용하면 식(6)의 미지수 계수 벡터를 다음과 같이 간단하게 구할 수 있다.

. (7)

식(7)에서 U와 V는 각각 좌/우 단위직교행렬(unitary matrix)이며, 는 특이치 행렬(singular matrix)이다. 단면 내부의 임의의 지점에서의 온도 분포는 식(7)에서 계산된 미지수 계수 벡터를 이용하여 다음과 같이 계산할 수 있다.

식(8)에서 u, 는 단면 내부의 임의의 좌표를 의미하며, 계수 벡터와 기저 함수의 정의 및 매질의 물성치를 이용하면 단면 내부의 온도를 계산할 수 있다.

2.2 시간지연 벡터의 재형성

음향 온도 측정법을 통하여 역문제적으로 추산되는 온도장의 공간 해상도는 식(2)에서 음속 분포 근사를 위해 사용하는 기저 함수 내부에 더해진 항의 개수에 의해 결정된다. 항의 개수가 많을수록 측정 단면 내부의 배치할 수 있는 보간점의 개수가 증가하게 되며, 온도장을 더 자세하게 모사할 수 있기 때문에 공간 해상도가 증가하게 된다. 그러나, 항의 개수 선택은 음향 센서 개수에 의해 생성되는 음향 경로의 개수에 의하여 제약을 받게 된다. 음향 온도 측정법에서는 실험 잡음의 영향을 줄이기 위하여 과결정계(over-determined system) 를 구성하게 되므로 음향 경로의 수보다 항의 개수가 많을 수 없다. 따라서 더 많은 항을 사용하려면, 음향 센서 개수를 증가시켜 음향 경로를 충분히 생성해야 한다. 그러나, 음향 센서 개수는 현실적인 제약에 의하여 정해지는 경우가 많으며 항상 많은 수의 음향 센서를 사용하는 것은 어렵다. 이러한 현실적인 제약을 피하면서 공간 해상도를 높이기 위하여 음향홀로그래피(acoustical holography)에서 제안된 바 있는 재형성 기법을 도입하여 시간지연 벡터를 재형성하였다.^[16]

실제 배치된 음향 센서-음향 가진기 어레이를 이용하여 온도장의 크기를 나타내는 계수 벡터 A_n은 식(7)을 이용하여 구할 수 있다. 이후, 계산된 계수 벡터 A_n을 이용하여 임의의 경로에 대한 시간지연 t_d2를

 (9)

와 같이 나타낼 수 있다. , 는 임의의 음향 경로의 좌표, , 은 단면 내부에 배치된 보간점의 좌표이며, (…)_n은 n번째 보간점의 좌표를 나타낸다. 즉, 식(7)으로부터 계산된 계수 벡터 A_n과 임의로 생성된 음향 경로에 해당하는 음향 센서 위치를 이용하여 식(9)로부터 시간 지연 t_d2를 계산할 수 있다. 따라서, 식(5)의 행렬 방정식은 재형성 된 시간지연 t_d2를 포함하여

 (10)

와 같이 나타낼 수 있다. 는 생성된 시간 지연 t_d2에 해당하는 전달행렬, 는 새로운 전달 행렬의 계수벡터이며, 단면의 온도 분포는 식(10)의 해와 식(8)을 이용하여 계산할 수 있다. 식(10)의 전달행렬은 재형성 된 시간지연 벡터를 포함하고 있기 때문에 음속 분포 근사 시, 더 많은 개수의 항을 사용할 수 있다. 따라서 측정 단면 내부에 더 많은 보간점을 배치할 수 있어서 복잡한 온도 분포의 모사에 유리하다. 그러나, 재형성 기법의 정확도는 재형성에 사용되는 계수벡터 A_n의 초기 정확도에 크게 의존한다. A_n의 정확도가 낮으면 재형성된 시간지연 벡터도 낮은 정확도를 가지고 있기 때문에 오히려 재구성 오차가 높아지는 단점이 존재한다.

III. 수치 예제

측정된 지연 시간만을 이용한 재구성 결과와 재형성 된 지연 시간을 함께 이용한 재구성 결과를 비교하기 위하여 수치 예제를 준비하였다. Fig. 3은 정사각 단면의 기준 온도 분포를 나타내고 있으며, 각각 원형 대칭 온도 분포 및 4개의 최대 열점을 가지는 대칭 음속 분포이다. 원형 대칭 분포는 음향 온도 측정에 관한 연구들이 가장 많이 다루는 온도 분포이며 일반적으로 연소기 내부에서 많이 관찰되는 분포이다. 이러한 다수의 최대 영역을 가지는 음속 분포는  복잡한 원자력 발전소의 연료봉 내부 또는 가스터빈 등에서 발생할 수 있으나, 현재까지는 Han 등^[9]에 의한 연구 이외에 다수의 국부적인 최대 영역을 가지는 온도 분포의 재구성에 대한 연구들은 부족하다.

3.1 입력 데이터 준비

2장에서 다룬 시간지연 벡터의 재형성을 이용하여 온도장을 재구성하였을 때와 기존의 온도장 재구성 결과를 비교하기 위하여 Fig. 1의 측정 단면과 Figs. 3(a), (b)의 원형 대칭 온도 분포 및 4개의 열점을 가지는 대칭 온도장을 기준 온도 분포로 사용하였다. 측정 단면 외곽에는 Figs. 4(a), (b)와 같이 각각 8개(p=24), 12개의 음향 센서(p=54)를 등간격으로 배치하였으며, 기준 온도 분포로부터 잡음비 20 dB의 가우시안 잡음(Gaussian noise)을 포함하는 음향 센서 간 시간지연을 계산하였다. 초기 온도 분포 정보는 등간격으로 배치된 음향 센서로부터 생성된 24, 54개의 음향 경로와 16개의 보간점을 이용하여 재구성할 수 있다. 재구성 과정에서 발생할 수 있는 잡음의 영향으로 인한 식(6)의 발산을 방지하기 위하여 개선된 Tikhonov 정규화 기법을 적용하였다.^[17] 이후, Figs. 4(c), (d)에 삼각형으로 표시된 8개의 가상 음향 센서로부터 형성되는 72, 151개의 음향 경로에 대한 시간 지연 t_d2를 식(9)를 이용하여 재형성하였고, 기존의 16개 보간점에 48개의 보간점을 추가 배치하여 온도를 재구성 하였다. 이후, 실제 배치된 8, 12개의 음향 센서만을 사용한 경우와 가상 음향 센서 8개를 포함하는 경우에 대하여 온도 재구성 결과를 비교하였다.

아울러 음속 분포의 재구성 오차를 평가하기 위하여 다음과 같이 정의된 오차를 사용하였다:

. (11)

식(11)에서 M은 단면에서 온도를 재구성 한 지점의 개수, 는 기준 온도, 는 재구성 된 온도를 나타낸다.

3.2 측정 단면 온도 재구성 결과

Table 1은 두 개의 온도 분포에 대하여 실제 음향 센서만으로 재구성 된 온도 분포(Original)와 재형성된 시간지연 벡터를 함께 이용하여 재구성된 온도 분포(Regenerated)의 재구성 오차 비교를 나타내고 있다. 온도 분포가 매우 간단한 대칭 원형 온도 분포(Case I)의 경우, 사용된 음향 센서 개수에 상관없이 실제 음향 센서만을 이용한 경우와 재형성된 시간지연 벡터를 이용한 경우 모두 재구성 오차가 비슷하다. 이는 대상 온도 분포가 단순하여 8개 및 12개의 실제 음향 센서만으로 형성되는 24개 및 54개의 음향 경로에 대하여 단면 내부에 보간점을 16개만을 배치하여도 충분한 공간 해상도가 확보되기 때문이다. 반면, 상대적으로 온도 분포가 복잡한 4개의 다중 열점을 가지고 있는 대칭 온도 분포(Case II)의 경우, 재형성 된 시간지연 벡터를 함께 사용한 경우의 재구성 오차가 실제 음향 센서만을 사용한 경우에 비해 낮은 것을 알 수 있다. 온도 분포가 복잡한 경우, 이를 표현하기 위해서는 충분한 공간 해상도가 필요하다. 즉, 측정 단면의 복잡한 온도장 분포를 대표할 수 있을 만큼 많은 수의 보간점을 배치해야 복잡한 온도장을 표현할 수 있다. 그러나, 실제 배치된 8개 및 12개의 음향 센서만을 이용한다면 과결정계 구성을 위하여 24개 및 54개 이상의 보간점을 배치하는 것이 불가능하다. 따라서 충분한 공간 해상도를 확보할 수 없으므로 Table 1의 결과처럼 재구성 오차가 높게 나오게 된다. 그러나, 재형성 된 시간지연 벡터를 함께 사용한다면, 식(5)의 전달 행렬에서 p가 증가하게 되므로 측정 단면에 배치할 수 있는 보간점의 개수가 증가하게 되어 충분한 공간 해상도의 확보가 가능하다. Figs. 4(c), (d)에서 배치된 가상 음향 센서를 통하여 형성된 72개 및 151개의 음향 경로와 측정 단면에 추가적으로 배치된 48개의 공간 보간점을 이용하여 측정 단면의 온도 분포를 재구성 하였으며, Table 1의 결과처럼 재형성 된 시간지연 벡터를 함께 사용한 경우 온도 재구성 오차가 감소한 것을 알 수 있다.

Figs. 5(a), (b)와 Figs. 6(a), (b)는 단순한 대칭 원형 온도 분포에 대하여 실제로 배치된 음향 센서만을 사용한 온도 재구성 결과와 재형성 된 시간 지연 벡터를 함께 사용한 온도 재구성 결과를 나타낸다. 사용된 기준 온도 분포가 복잡하지 않기 때문에 시간 지연 벡터 재형성으로 인하여 증가된 공간 해상도가 재구성 오차에 큰 영향을 끼치지 않음을 알 수 있으며, 이는 Table 1의 온도 재구성 오차로도 알 수 있다.

복잡한 4개의 열점을 가지는 대칭 온도 분포의 경우, Figs. 5(c)와 6(c)의 결과처럼 실제 배치된 8개 및 12개의 음향 센서로 확보되는 공간 해상도를 이용하여 4개의 열점을 정확하게 표현하는 것이 어렵다. 반면에 Figs. 5(d)와 6(d)와 같이 재형성 된 시간지연 벡터를 포함한 경우에는 음속 분포 근사 시 측정 단면 내부에 보간점을 더 많이 배치할 수 있기 때문에 공간 해상도가 향상되었으며, 결과적으로 온도 재구성 오차는 감소하였고, Figs. 5(d)와 6(d)의 온도 재구성 결과는 향상되었음을 알 수 있다.

IV. 결  론

본 연구에서는 음향 온도 측정법을 이용하여 단면의 온도를 재구성 할 때, 현실적인 제약으로 인하여 다수의 음향 센서를 사용하지 못하는 경우에도 높은 공간 해상도를 얻기 위한 시간지연 벡터 재형성 방법을 제시하였다. 시간지연 벡터 재형성 방법은 주어진 음향 센서로 획득한 초기 온도장을 바탕으로 임의의 음향 경로에 대해 시간지연 벡터를 계산하여 온도장을 재구성 하는 것이다. 시간지연 벡터 재형성 방법을 이용하여 음향 경로의 개수를 증가시킬 경우, 단면의 음속 분포를 근사하기 위한 보간점의 개수를 함께 증가시킬 수 있어서 제한된 개수의 음향 센서로도 높은 공간 해상도를 얻을 수 있다. 특히, 목표 온도장이 복잡한 경우에 높은 공간 해상도를 바탕으로 재구성 된 온도장의 정확도가 높아지는 장점이 있다. 이를 검증하기 위한 수치예제로서 대칭 원형 온도 분포 및 4개의 열점을 가지는 대칭 온도 분포를 시간지연 벡터 재형성 기법을 이용하여 재구성 하였다. 대칭 원형 온도장의 경우에는 시간지연 벡터 재형성 기법과 기존의 재구성 결과가 비슷하였으나, 4개의 열점을 가지는 복잡한 온도장의 경우에 재형성 된 시간지연 벡터를 포함하여 재구성하였을 때, 높아진 공간 해상도로 인하여 20 dB의 잡음이 존재함에도 불구하고 재구성 결과가 좋아진 것을 확인하였다. 향후 보간점의 개수와 공간 해상도에 대한 연구 및 선택된 보간점의 최적 배치에 관한 연구가 필요하다.