I. 서 론

두께 방향의 공진 모드를 이용하는 톤필츠(tonpilz) 트랜스듀서와는 달리 압전 링 트랜스듀서는 원주 길이 방향의 공진 모드를 활용하여 작은 크기로도 수중에서 저주파 음향 발생에 용이하다. 압전 링 트랜스듀서는 전기-기계 변환구조에 따라 분류 되며, 링의 방사방향으로 분극된 31-모드 링과 원주방향으로 분극된 압전 세라믹 소자들로 링을 구성한 33-모드 링이 많이 활용되고 있다.^[1] 33-모드 링은 그 자체로 활용하기도 하지만 대역폭 확장 등에 유리한 비능동 소자 삽입 구조의 33-모드 링이 소나용 음원으로 많이 개발되고 있다. 특히 링 내부가 공기가 아닌 유체(물)로 채워진 FFR(Free Flooded Ring) 트랜스듀서의 경우 기계적 구조 공진모드와 함께 링 내부의 캐버티 공진 모드를 활용해 광대역 음원으로 설계할 수 있어 최근 가변심도 소나와 같은 저주파 능동소나의 음원으로 널리 응용 되고 있는 추세이다.^[2]

이러한 FFR 트랜스듀서의 전기-기계-음향 응답을 예측하는 방법으로 집중상수 기반의 등가회로 모델을 고려해 볼 수 있을 것이다. 그러나 공기 배킹된 링의 경우 보편적인 1 차원 상호적 트랜스듀서의 등가회로 모델을 적용할 수 있으나, 링 내부의 음향방사를 고려해야 하는 FFR 트랜스듀서의 경우 등가회로 모델을 통한 해석 결과의 정확도를 확보하기 위해서는 매우 정교하고 복잡한 모델링이 요구된다.^[1,3,4] 따라서 FFR 트랜스듀서 해석에서도 쉬운 모델링 과정을 통해 높은 정확도의 전기-기계-음향 송신 특성을 예측 할 수 있는 상용 수치해석 코드가 많이 활용되고 있다. 그런데 33-모드 링의 구조는 31-모드 링과는 달리 축대칭 구조가 아니므로 유한요소법 기반의 전기-기계-음향 송신특성 해석을 위해서는 3차원 기반의 수치해석을 수행해야 한다. 따라서 33-모드 링의 해석을 위해서는 높은 전산자원과 많은 해석 소요시간이 요구되게 된다. 특히 FFR 배열 구조나 소나돔 등의 구조 연성 해석시 많은 전산 자원이 소요된다. 이러한 측면에서 33-모드 링의 수중음향 송신특성을 예측할 수 있는 등가 31-모드 링의 유효 물성을 도출할 수 있다면 실용적일 것이다.

관련 연구로 Tay^[5]는 공기중에서 33-모드 링의 동특성을 모사할 수 있는 31-모드 링의 유효 물성를 ATILA 코드를 이용한 반복적 수치해석을 통해 찾은 후에 FFR 트랜스듀서 해석에 적용한바 있다. 본 연구에서는 등가 물성 추출 방안으로 보다 직관적인 방법을 제안하였다. 각 모드 링의 1차원 집중상수 모델에서 각 링의 전기 및 기계 임피던스와 변환계수가 서로 동일하다는 가정을 하였다. 이를 통해 33-모드 링의 전기-기계 응답 특성을 모사 할 수 있는 등가의 31-모드 링의 유효 물성을 도출할 수 있었다. 이와 관련된 초기 해석 결과는 보고한바 있다.^[6] 본 연구에서는 비능동 소자 삽입형 33-모드 링(또는 순수 33-모드 링)의 특성을 모사할 수 있는 등가 31-모드 링의 유효 물성 도출하여 수치해석 모델에 적용 후 등가 31-모드 링의 공기 중 임피던스 특성, 유체내에서 공기 배킹 링 및 FFR의 음향송신특성을 계산하였다. 계산된 결과는 3차원모델로 계산된 33-모드 링의 응답특성 결과와 비교 검토하였고, 이를 통해 본 연구에서 제안한 기법의 적절성을 논하였다.

II. 링의 집중상수 모델

Fig. 1에는 31-모드 링, 33-모드 링, 비능동 소자 삽입형 33-모드 링을 나타냈다.

Fig. 1.

Piezoelectric ring transducer: 31-mode ring, 33-mode ring, inactive segmented 33-mode ring.

논의의 편의상 각 링의 평균 반경(a), 링 두께(t), 링 높이(w)는 동일하다고 가정한다. 33-모드 링 구조에서 단위 압전 세라믹 소자 너비를 $l_p$라 하고, 링이 원주 방향으로 N개의 압전 세라믹 소자로 균등하게 분할($l_p·N=2\pi \alpha$) 되었다고 가정했다. 비능동 소자가 삽입된 구조의 경우 압전 세라믹 소자와 비능동 소자의 너비를 각각 $l,l_i$라 하고 두 소자를 더한 길이($(l+l_i)·N=2\pi \alpha$)가 총 N개로 균등하게 분할되었다고 가정하였다. 각 링의 외부 형상은 각각 다르지만 공기중 무부하 상태의 1차원 집중상수의 등가 회로는 Fig. 2(a)와 같이 모두 동일하다. 단, 각 임피던스 성분들만 각 링의 구조에 따라 달라진다.

Fig. 2.

Equivalent circuit of ring transducers: (a) unloaded ring in air, (b) loaded ring with air backing, (c) FFR transducer.^[1,3,7]

여기서 $Z_{ms},Z_{EB},V,I,u_1$은 각각 단락 회로의 기계적 임피던스, 블록된 전기적 임피던스, 구동 전압, 구동 전류, 링 방사방향의 진동속도를 의미한다.

Fig. 2(b)는 공기 배킹 링이 수중에서 구동될 때의 등가회로로 무부하 등가 회로에 방사 방향의 음향방사 임피던스 $Z_r$이 추가된다. 이때 Fig. 1의 세 가지 링 모두 동일한 외경(즉, 방사면)을 지니므로 동일한 $Z_r$을 갖게 된다. Fig. 3(c)는 Sherman과 Butler^[1]가 제시한 링의 높이방향 대칭을 고려한 FFR 트랜스듀서의 등가회로로써 음향 방사는 $Z_r$과 캐버티 포트의 음향방사임피던스($Z_p$)만을 고려하여 모델하였다. 각 방사면의 음향방사 임피던스와 상호방사 임피던스가 포함되어 있지 않아 정확도는 낮지만 FFR 트랜스듀서의 구동특성을 설명할 수 있는 모델이다. 여기서 $C_1,R_2$는 각각 캐버티의 컴플라이언스와 포트에서의 유체 감쇄이며, n은 $u_1$과 포트 방사면의 진동속도($u_2$) 사이의 변환비($n=-u_1/u_2={\alpha }_1/2w$)이다. 이 경우에 있어서도 Fig. 1의 세 가지 링이 모두 동일한 캐버티 제원 및 매질을 가지므로 $Z_p,C_1$,(링의 기계적 강성이 유사한 경우), $R_2$, n이 모두 유사하다.^[1,9] 즉, 만약 무부하 상태에서 각 링의 전기-기계 응답특성을 서로 유사하도록 모델링할 수 있다면 부하상태에서도 캐버티 특성을 포함한 FFR 트랜스듀서의 전기-기계 응답특성이 서로 유사할 것으로 예측 할 수 있다. 부하가 없는 상태에서 각 링의 기계적, 전기적 집중상수 및 기계-전기 변환계수를 기존 문헌 자료 등을 참고하여 Table 1에 정리하였다.

Fig. 3.

Finite element model of FFR transducer: (a) inactive seg, 33-mode ring with 3D model, (b) equivalent 31-mode ring with 2D axisymmetric model.

Table 1. Lumped parameters of each ring transducer.^[1,3,8]

III. 등가 31-모드 링 유효 물성 도출

본 장에서는 앞서 제시한 33-모드 링의 응답특성을 모사할 수 있는 등가 31- 모드 링의 유효물성 도출 방안에 대하여 그 전체 과정을 기술하였다. 33-모드 링의 기계 임피던스와 등가의 31-모드 링의 기계 임피던스가 동일하다고 가정함으로써 등가 31-모드 링의 기계적 유효 물성 도출이 가능하다. 이를 통하여 링 트랜스듀서의 동적 응답 특성을 유사하게 모사 할 수 있다. 이와 함께 각 링의 변환계수가 동일하다고 가정하였다. 즉, 이러한 가정을 통해 동일한 구동 전압(V)에 대하여 동일한 구동력($F=\varphi V$)이 형성 되므로, 링의 전기-기계 응답 특성을 유사하게 모사 할 수 있게 된다.

앞서 논하였듯 유효 물성을 도출함에 있어 매질의 영향은 고려할 필요가 없다. Fig. 1에서 살펴 볼 수 있듯, 제시한 세 가지 링의 방사면(링의 외경, 내경, 상부, 하부)의 형상 및 크기가 서로 동일하므로 각 방사면에서의 음향 방사 임피던스($Z_{r,i}$)는 모든 링이 서로 같다. 따라서 무부하 상태에서 링의 전기-기계 응답 특성이 동일하도록 등가 31-모드 링의 유효물성을 도출 했다. 두 가지 33-모드 링 중 비능동 소자 삽입형 33-모드 링에 대한 등가 유효물성 도출 과정을 Eqs. (1) ~ (10)에서 우선 기술하여 설명하였다.

부하가 없는 경우의 구동 전압(V)에 따른 링 트랜스듀서의 진동 응답 속도($u_1$)는 다음과 같다.^[7]

이때 $Z_{ms}=R_m+j(\omega M-K/\omega )$이다. Eq. (1)에서 알 수 있듯 두 개의 링의 $Z_{ms}$가 동일한 경우 외력 F를 동일하게 설정할 수 있다면 두 링에서는 동일한 응답 속도를 얻을 수 있다. 기계적 임피던스를 서로 동일하게 설정하기 위하여 임피던스 성분인 질량($M$), 강성($K$), 감쇄($R_m$)가 33-모드 링과 등가 31-모드 링이 서로 같다고 가정할 수 있다. 먼저 질량이 동일($M_{31\_eff}=M_{i33}$)하다는 가정 하에 등가 31-모드 링의 유효(effective) 밀도(${\rho }_{31\_eff}$)를 추출할 수 있다.

여기서 $\rho$와 ${\rho }_i$는 각각 압전 세라믹 소자와 비능동 소자의 밀도이다.

또한 링의 강성이 동일($K_{31\_eff}=K_{i33}$) 하다는 가정 하에서 등가 31-모드 링의 유효 컴플라이언스($s_{11\_eff}^E$)를 도출할 수 있다.

이때 $s_{11}^E$과 $s_{33}^E$는 각각 압전 세라믹 소자의 11, 33 방향 컴플라이언스이며 $s_i$는 비능동 소자의 컴플라이언스이다.

기계적 감쇄($R_m$)를 고려해야 하지만 감쇄의 정확한 모델링이 어렵고 수중에서 음향 센서의 큰 음향방사 임피던스에 비해 압전 세라믹의 재료적 손실에 의한 감쇄가 작으므로 본 연구에서는 이를 고려하지 않았다.

그리고 Eq. (1)에서 동일한 입력 전압에 대하여 동일한 외력을 형성하기 위하여 변환계수가 같다(${\varphi }_{31\_eff}={\varphi }_{i33}$)고 가정했다. 이를 통해 31-모드 링의 유효 압전 상수 ($d_{31\_eff}$)를 추출할 수 있다.

여기서 $s_{11\_eff}^E$는 Eq. (5)를 이용하여

이때 $d_{31}$과 $d_{33}$은 각각 31 방향과 33 방향의 압전 상수이다.

마지막으로 동일한 전기적 임피던스를 가질 수 있도록 유효 물성을 도출해야 한다. Fig. 2(a)의 등가회로에서 전기적 어드미턴스 ($Y_E=1/Z_E$)는 다음과 같이 표현 된다.^[7]

기계적 임피던스와 변환계수를 동일하다고 가정했기 때문에 모셔널 어드미턴스(motional admittance,$Y_{MOT}={\varphi }^2/Z_{ms}$)는 서로 같다. 따라서 전체 입력 임피던스를 동일하게 맞추기 위해서는 블록된 어드미턴스($Y_{EB}=1/R_0+i{C}_0\omega$)를 같게 설정하면 된다. 따라서 두 링의 커패시턴스가 동일하다($C_{31\_eff}=C_{i33}$)는 가정 하에 등가 31-모드 링의 유효 유전상수(${\epsilon }_{33\_eff}^T$)를 도출할 수 있다.

여기서 ${\epsilon }_{33}^T$는 세라믹의 상대 유전상수이다. 이때 클램프된 유전상수 ${\epsilon }_{33}^S={\epsilon }_{33}^T(1-{k_{31}}^2)$에서,

여기서 ${k_e}^2={k_{33}}^2/(s_i{l}_i+s_{33}^{E}l)$이며 $s_{11\_eff}^E$,와 $d_{31\_eff}$는 각각 Eqs. (5)와 (7)의 결과를 적용하면 된다. 이때 $k_{31}$과 $k_{33}$은 각각 와 31 방향과 33 방향의 결합계수이다.

본 연구에서는 전기적 손실을 해석에 반영하지 않았다. 참고로 Table 1에서 $\tan \delta$은 압전 세라믹의 유전손실이다.

비능동 소자가 없는 33-모드 링도 상기 방법과 동일하게 정리할 수 있으며, 비능동 소자 삽입형 33-모드 링에서 비능동 소자 부분을 고려하지 않으면($l_i=0$) 유효 물성을 도출할 수 있다. 이러한 과정으로부터 Table 2에 두 가지 33-모드 링에 대하여 등가 31-모드 링의 유효 물성 관계식을 확보할 수 있었다.

Table 2. Effective material properties of 31-mode ring.

	33-mode	Inactive seg. 33-mode
${\rho }_{31\_eff}$	${\rho }_{33}$ (i.e, = $\rho$)
$s_{11\_eff}^E$	$s_{33}^E$
$d_{31\_eff}$	$t{d}_{33}N/2\pi \alpha$
${\epsilon }_{33\_eff}^T$	$d_{31\_eff}^2/s_{11\_eff}^E+N{t}^2/2\pi \alpha l·{\epsilon }_{33}^T(1-{k_e}^2)$ where li = 0	$d_{31\_eff}^2/s_{11\_eff}^E+N{t}^2/2\pi \alpha l·{\epsilon }_{33}^T(1-{k_e}^2)$

IV. 해석결과 검토

III장에서 도출한 등가 31-모드 링의 유효 물성이 적절한지 확인하기 위하여 33-모드 링의 3차원 해석과 등가 31-모드 링의 2차원 해석을 수행하여 전기-기계-음향 송신특성을 비교하였다. 해석은 상용 다중물리영역 유한요소해석 소프트웨어인 COMSOL Multi- physics ® 을 이용하였다. Fig. 3(a)와 3(b)는 비능동 소자 삽입형 33-모드링과 등가 31-모드 링의 FFR 트랜스듀서 해석 모델이다. 33-모드 링의 3차원 모델에서는 원주 방향으로 교차 배치된 압전 소자와 비능동 소자를 고려하여 압전의 폴링 방향 및 전위와 전극을 설정하였다. 31-모드 링은 2차원 축대칭 모델을 설정하여 원주방향으로 압전의 폴링 방향을 설정하고, 링의 외경과 내경에 전위와 전극을 설정했다. 이때 산출된 등가 물성을 세라믹의 물성으로 입력했다. 각 해석시 Helmholtz - Kirchhoff 적분 기반으로 원접장 음장을 예측하였고, 해석요소의 최대 길이는 최대 해석 주파수 파장 길이의 1/5만큼 설정하였다. 해석 영영의 끝단에 무반사 조건을 설정을 위해 PML(Perfect Matched Layer)을 5개의 층으로 설정했다.

Table 3에는 33-모드 링과 비능동 소자 삽입형 33-모드 링의 제원 및 재질 물성과 각 링의 등가 31-모드 링의 유효 물성을 제시하였다. 제원은 링의 두께 $t_0$로 정규화 하였다. 비능동 소자 삽입형 33-모드 링의 비능동 소자로써 알루미늄(Al)을 선정하였고 압전 소재로 PZT 4를 적용하였다.^[1] 특히 본 해석에서는 압전 세라믹과 비능동 소자의 비가 서로 같도록 너비를 동일($l=l_i$)하게 설정하였다.

Table 3. 33-mode ring design parameters and effective material properties of its equivalent 31-mode ring.^[1]

4.1 공기 중 임피던스 비교

무부하 상태를 고려하여 매질을 공기로 설정해 33-모드 링의 3차원 유한요소해석과 유효물성을 이용한 등가 31-모드 링의 2차원 축대칭 유한요소해석을 통해 얻은 임피던스 결과를 Fig. 4에 비교하였다. 또한 같은 방법으로 비능동 소자 삽입형 33-모드 링과 등가 31-모드 링의 임피던스 해석결과를 Fig. 5에 비교하였다. 주파수 축은 편의상 비능동 소자 삽입형 33-모드 링의 공기중 공진주파수 값($f_0$)으로 정규화 했다(Figs. 4~9). Fig. 4와 같이 33-모드 링과 등가 31-모드 링의 공진주파수는 일치하였고, 비능동 소자 삽입형 33-모드 링과 등가 31-모드 링의 경우 약 1 % 미만의 오차 이내로 서로 유사한 결과를 얻었다. 임피던스 레벨은 33-모드 링의 경우 공진 주파수 이전 저주파수에서 약 1.5 % 이내로 일치하였고, Fig. 5에서 비능동 소자 삽입형 33-모드 링의 경우 경향은 일치하나 약 10 % 가량의 크기 차이를 보였다. 각 등가 31-모드 링은 각 33-모드 링의 전기-기계 결합특성을 모사하였다.

Fig. 4.

Impedance comparison between 33-mode and equivalent 31-mode ring: ring in air.

Fig. 5.

Impedance comparison between inactive segmented 33-mode and equivalent 31-mode ring: ring in air.

4.2 공기 배킹 링의 수중 송신특성 비교

공기 배킹된 33-모드 링과 비능동 소자 삽입형 33-모드 링을 가정하여 해석시 링 내부만 공기로 설정하고 수중에서 음향송신특성을 해석하여 Figs. 6과 7에 결과를 각각 비교했다. 편의상 송신전압감도(Transmitting Voltage Response, TVR) 레벨은 비능동 소자 삽입형 33-모드 링의 수중 공진주파수(정규화 주파수= 0.85)대역 최댓값(TVR_pk)으로 정규화 했다(Figs. 6 ~ 9). 공기 배킹 구조이므로 음향 방사는 링의 외경 부분에서만 이루어진다.

Fig. 6의 결과를 살펴보면 33-모드 링과 등가 31-모드 링의 경우 공진 주파수 이전까지 일치하다가 공진주파수 이후 일부 차이(예: 정규화 주파수 = 1에서 △TVR = 0.74 dB, △Z_mag. = 12 %, △Z_phase = 7.1 ° 차이)를 보였지만 서로 유사했다. 따라서 등가 31-모드 링이 33-모드 링의 특성을 외경 방사 조건에서 잘 모사하고 있음을 알 수 있다. 비능동 소자 삽입형 33-모드 링의 경우에서도 Fig. 7에서 확인할 수 있듯 등가 31-모드 링이 잘 모사하고 있음을 알 수 있다.

Fig. 6.

TVR(a) and impedance(b) comparison between 33-mode and equivalent 31-mode ring: air backed ring in water.

Fig. 7.

TVR(a) and impedance(b) comparison between inactive segmented 33-mode and equivalent 31-mode ring: air backed ring in water.

4.3 FFR 트랜스듀서에서의 송신특성 비교

FFR 트랜스듀서의 해석을 수행하는 경우, 등가 31-모드 링으로 33-모드로 3차원 해석을 수행하는 것과 유사한지 검토해 보았다.

해석 수행시 FFR 트랜스듀서를 모델하기 위하여 수중에서 링의 내부를 물로 설정하였다. Fig. 8은 33-모드 링(즉, N = 112)의 경우이고, Fig. 9는 비능동 소자 삽입형 33-모드 링의 경우에 대하여 해석한 결과이다.

Fig. 8.

TVR(a) and impedance(b) comparison between 33-mode and equivalent 31-mode ring: free flooded ring transducer.

Fig. 9.

TVR(a) and impedance(b) comparison between inactive segmented 33-mode and equivalent 31-mode ring: free flooded ring transducer.

두 결과 모두 정규화 주파수 0.4 이하에서 TVR 레벨 등에서 오차가 일부 있었고, 캐버티 공진과 구조 공진 주파수 대역에서 임피던스 크기 및 위상 값에서 작은 차이가 있었다. 즉, 일부 차이는 있지만 전체적인 음향송신특성 결과는 서로 유사함을 확인하였다. 따라서 FFR 트랜스듀서의 경우에 있어서도 31-모드 링이 33-모드 링의 특성을 잘 모사한다.

4.4 오차 원인 검토

33-모드 링과 등가 31-모드 링의 결과는 서로 유사 하였지만 일부 차이가 발생하고 있다. 이러한 차이는 우선 기하학적인 차이에서 발생한 것으로 판단된다. 링의 원주를 N 등분 하는 경우 하나의 소자는 Fig. 10(a)와 같이 부채꼴의 형태로 분할되지만, 집중상수 파라미터는 Fig. 10(b)와 같이 직사각형 형태로 모델링 하면서 발생한 문제로 보인다. 이와 함께 FFR 트랜스듀서 해석결과에서 해석 결과 차이가 다소 존재하는데, 향후 기하학 적인 차이 등과 함께 이러한 차이에 대한 원인 분석을 수행할 예정이다.

Fig. 10.

Difference between 3-dimensional model and lumped parameter model.

V. 결 론

본 연구에서는 33-모드 링과 비능동 소자 삽입형 33-모드 링의 응답특성을 모사할 수 있는 등가의 31-모드 링의 유효 물성을 도출하였다. 도출된 유효 물성을 이용해 33-모드 링의 모사 특성을 결과를 얻은후 3차원 해석을 직접 수행해 얻은 33-모드 링의 특성 결과와 비교했다. 해석 수행시 공기 중 링의 임피던스 결과부터 수중 FFR 트랜스듀서 경우 까지 음향 부하를 단계별로 설정하여 계산하여 그 결과를 비교하였다. 계산 및 분석 결과 본 연구에서 제안한 유효 물성을 이용한 등가 31-모드 링을 이용하여 33-모드 링을 특성을 모사 할 수 있음을 검증하였다. 향후 FFR 트랜스듀서의 설계 인자에 따른 민감도 검토 및 배열 설계 등에 활용하면 전산자원 및 해석 시간을 크게 절감할 수 있을 것으로 판단한다.